Wann muss man eine Fallunterscheidung durchführen?
Hallo Leute,
diese Frage stelle ich, weil wir im Mathematik Unterricht Monotoniebereiche mittels einer Fallunterscheidung ermittelt haben.
Was Monotonie bereiche sind verstehe ich. Woran man erkennt, wann eine Fallunterscheidung von Nöten ist, weiß ich nicht.
Ich beschreibe kurz die Aufgabe, die wir im Unterricht gemacht haben:
Aufgabenstellung: Alle Maxima und Minima, Schnittpunkte mit den Achsen und die Monotoniebereiche der Funktion f(x)=-x³+6x² ermitteln.
Wir haben mit der ersten Ableitung die Fallunterscheidung gemacht: -3x²+12x>0 3x(-x+4)>0 Unser Ziel war, wie gesagt, die Monotoniebereiche zu ermitteln.
Der erste Fall war 3x>0 und -x+4>0 Lösung: x>0 und x<4 Der zweite Fall war 3x<0 und -x+4<0 Lösung: x<0 und x>4
Warum haben wir die Fallunterscheidung hier gemacht? Ich verstehe es nicht. Noch ´ne Frage: Wie kann man am besten die Monotoniebereiche einer Funktion in einer Klassenarbeit ermitteln? Welche Methoden sind am besten? Wann und Woran erkennt man, dass man eine Fallunterscheidung machen muss?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Danke im Voraus.
-Notnamedguy.
2 Antworten
bei Max und Min wechselt das Monotonieverhalten; also bekommst du die Bereiche durch Extrema raus. Links von max steigend und rechts fallend ; und bei Min andersrum.
Fallunterscheidungen braucht man immer dann, wenn die Funktion eben nicht überall monoton ist. Wenn sie also zuerst steigt und dann wieder sinkt ist diese Funktion natürlich nicht monoton. Aber man kann sie eben in einen steigenden und einen fallenden Bereich unterteilen. Deswegen die Fallunterscheidung. Die Frage ist natürlich, wo man die Bereiche trennen muss. Das ist gewöhnlich immer an den Extremstellen: Links von einem Maximum muss die Funktion schließlich steigen und rechts davon fallen. Bei einem Minimum entsprechend umgekehrt. Also bei einer Kurvendiskussion immer erst die Extremstellen berechnen, dann die Monotoniebereiche angeben.
Dieses Kriterium für die Fallunterscheidung der Bereiche stimmt immer, solange keine Definitionslücken oder Unstetigkeiten (also die Funktion "hüpft") auftreten.Bestes Besipiel f=1/x^2; Diese Funktion ist für x<0 streng monoton steigend, für x>0 streng monoton fallend. Aber bei x=0 ist kein Extremum sondern eine Definitionslücke. Deshalb muss man bei jeder Definitionslücke auch prüfen, ob der Monotoniebereich hier endet (wobei streng genommen die Definitonslücke ja niemals zu einem Monotoniebereich gehören kann).
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So wie ihr das in der Schule gemacht habt, kann man es natürlich auch machen. Statt die Extremstellen auszurechenen (also Ableitung=0), habt ihr gleich monoton steigende Gebiete berechnet(also Ableitung>0). Die Berechnung ist prinzipiell die Gleiche. Bei der Berechnung mit dem Gleichheitszeichen beechnet man halt nur die "Trennstellen" und muss sich dann nochmal Gedanken drüber machen, ob die Bereiche nun monoton steigend oder fallend sind. Bei der größer-Methode hat man das gleich drin, da man ja speziell nur die monoton steigenden Gebiete berechnet, alle anderen Gebiete müssen also monotn fallend sein. Allerdings ist diese Methode evtl. fehleranfälliger (ist aber bei jedem anders), da man immer noch auf die richtige Richtung des Ungleichzeichens achten muss (und evtl. ein Rumdrehen bei Multipliaktion mit was negativem vergisst). Da man meistens sowieso zuerst die Extrema berechnen muss (Also die Gleichheitsmethode), wird diese Methode im Schulalltag wohl auch weniger relevant sein.