Monotonie ohne Differentialrechnung bestimmen
Gegeben ist folgende Funktion: f(x)=(3x²-12x+12)^1/2 Ich soll nun die Monotonie bestimmen, darf dies aber nicht graphisch oder mit der Differentialrechnung lösen. Im Unterricht haben wir 3 Fälle unterschieden... und dann ist man so irgendwie auf die Monotonie gekommen.
Kann mir bitte jemand erklären, wie man hier vorgeht bzw. wie man das überhaupt macht?
Danke schon mal ;)
3 Antworten
Wie wäre es, wenn du die Funktion mal umformst:
f(x)=(3x²-12x+12)^1/2 = (3(x²-4x+4))^1/2 = (3 (x-2)²)^1/2 = 3^1/2 * |x-2|
Jetzt musst du noch zeigen, wann aus x < y auch f(x) < f(y) bzw. f(x) > f(y) folgt. Dann hast du die Monotonie.
Und dafür machst du eine Fallunterscheidung, rund um den Betrag sozusagen. Entweder für x und y ist x-2 und y-2 beides größer Null oder beides kleiner Null oder eins größer, eins kleiner Null.
Hallo,
wenn du die Monotonie ohne Differentialrechnung und ohne Schaubild bestimmen sollst, muss es etwas ziemlich offensichtliches sein. Z. B. kann man bei g(x) = x direkt sagen dass das Ganze für ganz R streng monoton wachsend ist. Genauso kann man es z.B. für h(x) = x^2 sagen oder für ähnliche einfache Parabeln.
Der Verdacht liegt also nahe, dass deine Funktion f(x) nur eine komplizierte Schreibweise für irgendeine offensichtliche Funktion ist. Wir müssen also f(x) irgendwie vereinfachen.
Zunächst überlegen wir uns, was ein Faktor mit einer Funktion bezüglich der monotonie ist. Wenn i(x) eine bestimmte Monotonie hat, wie sieht des dann für j(x) = 5 * i(x) aus?
Wenn du zu dem Schluss gekommen bist, dass konstante Faktoren an der Monotonie nichts ändern kannst du mal schauen, ob du bei deiner Funktion f(x) einen solchen Faktor ausklammern kannst.
Dann musst du nur noch den restlichen Teil betrachten und weiter vereinfachen bis du auf eine bekannte Form stößt, von der du die Monotonie direkt ablesen kannst. Vielleicht erinnerst du dich dabei an den berühmten Mathematiker Francesco Binomi ;)
Viel Erfolg!
mfg,
Ennte
Das Innere der Wurzel ist ein quadratischer Term und stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar. Links vom Scheitelpunkt fällt sie, rechts davon steigt sie.
Die Wurzel schließlich ändert am Monotonierverhalten nichts mehr.
Das ist mir schon klar.. Aber ich muss das irgendwie beweisen. Und ich darf es nicht graphisch oder mit der Ableitung machen.