Frage von nuff16, 18

Parameter so bestimmen, dass sich Berührpunkt ergibt?

Hallo!

Gegeben habe ich die Funktionen f und g mit f(x) = x^2 + a mit a € R und g(x) = x Ich soll nun den Parameter a so bestimmen, dass f und g sich in einem Punkt berühren.

Das kann man natürlich stumpf mit Differentialrechnung bestimmen, aber kennt jemand einen eleganteren Weg?

Antwort
von polygamma, 16

Hey!

Wenn man sich Parabel und Gerade mal bildlich vorstellt, so ist es ziemlich offensichtlich, dass sie sich nur dann berühren, wenn es genau einen Schnittpunkt gibt.

f(x) = g(x) ist äquivalent zu: x^2 - x + a = 0
Die pq-Formel lautet: -p/2 +- sqrt(p^2/4 - q)
Genau eine Lösung gibt es somit, wenn 0 = sqrt(p^2/4 - q) gilt, also 0 = p^2/4 - q
Bei uns gilt p = -1 und q = a, also muss gelten: 0 = (-1)^2/4 - a <=> 0 = 1/4 - a <=> a = 1/4

Zur Überprüfung:
Der Schnittpunkt liegt somit bei -p/2 = -(-1)/2 = 1/2 und es gilt f'(1/2) = 2 * 1/2 = 1 = g'(1/2), also ist a = 1/4 tatsächlich die Lösung.

Antwort
von identified, 9

Sei f(x)=x²+a mit a aus IR.

Sei g(x)=x

f(x)=g(x), also x²+a=x, also x²-x+a=0.

Mit pq Formel ergibt das:

o,5+- Wurzel aus 0,25-a

Weil ja nur EIN (Berühr-)punkt vorhanden ist
Wurzel aus 0,25-a=0 setzen, also (quadriert) 0,25-a=0, also a=0,25

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