Determinantenform?
Hallo! Ich habe folgendes Problem gegeben...
z.z., dass....
eine Determinantenform ist.
Wie zeigt man so etwas? Ich habe den Verdacht, dass man hier irgendwelche Axiome/Eigenschaften nachweisen muss, finde aber zurzeit nirgends ordentliche Quellen, welche Eigenschaften das wären.
Danke.
2 Antworten
Also bei uns wurden folgende Eigenschaften definiert:
1) linear in jeder Zeile
2) Rang(A)<n => det(A) =0
3) det(E(n))=1
3) ist leicht zu berechnen.
2) (etwas unformal)
Wenn der Rang nicht n ist, dann ist dim(A) entweder 1 oder 2, für den Fall 1 ist der Spat auf jeden Fall 0, da das Kreuzprodukt 0 ist (a und b) sind linear abhängig).
Bei dim=2 liegen die Vektoren auf einer Ebene. Somit bildet das Kreuzprodukt einen Vektor, der auch Orthogonal zu c ist => Skalarprodukt ist somit 0.
1) müsste mit auflösen machbar sein.
(Oder du löst das Spatprodukt auf, und zeigst, dass der Term, der rauskommt, gleich der Determinante ist (Sarrus-Regel), das ist auch machbar und ich vermute es ist sogar einfacher)
Also wir hatten im Studium:
Die Det. Form muss
1) Multilinearität
2) Alternierend
3) ungleich die Nullfunktion
erfüllen, beim Wikipedia Artikel steht das aber ohne 3), hmm
Hast du schon probiert das einfach einzusetzen und zu schauen was rauskommt? Bin leider nicht mehr so ganz in diesem Normen-Thema drinne, deswegen weiss ich nicht so recht :c
Probiert hab's ich schon. Aber bin mir unsicher, wo und wie ich das einsetzen soll.
Z.b. habe ich die Homogenität mal so... (λa,b,c) -> ...
überprüft. Das scheint zu passen. Nur weiß ich jetzt z.B. nicht, ob ich das auch für (a,λb,c) bzw. (a,b,λc) machen muss.
Es muss ja linear in jedem Argument sein, also muss man alle drei Sachen prüfen, am besten gleichzeitig
Das wäre meine nächste Frage gewesen ;-) Bei 5+ Vektoren wäre das alles ja nicht mehr möglich gewesen, einzeln auszurechnen.
Ich versuche mal, die anderen Eigenschaften nachzuweisen.
Na gut, deckt sich circa mit meinen Aufzeichnungen. Also muss eine Determinantenform multilinear (Homogenität & Additivität) sowie alternierend sein.
Du weißt nicht zufällig, wie man z.B. die Homogenität schön formal beweist?