Lagrangefunktion, Seil über Tischkante?

Hallo,

ich rechne gerade eine Aufgabe, in der ein Seil z.T. auf einem Tisch liegt und z.T. über die Tischkante hinaus in der Luft hängt. Das Seil wird zuerst festgehalten und dann losgelassen, sodass es (ohne Reibung) vom Tisch herabgleitet.

Man soll nun die Lagrangegleichungen aufstellen und lösen. Zur Aufgabe gibt es auch eine Lösung, allerdings verstehe ich zwei Sachen an der Lösung nicht:

1.) In der Lösung wurde als senkrechte Achse die x-Achse gewählt (warum auch immer...), die kinetische Energie des Seils ist dann mit der Formel:

$\frac{m}{2}\ \left(\frac{d}{dt}x\right)^2$

ausgedrückt worden. Aber damit hat man doch nur die senkrechte Komponente drin, das Seil rutsch doch aber auch horizontal über den Tisch, müsste die Formel also nicht so heißen?:

$\frac{m}{2}\ \left(\left(\frac{d}{dt}x\right)^2+\left(\frac{d}{dt}y\right)^2\right)$

2.) die Potentielle Energie wurde berechnet, indem man sich ein infinitesimales Seilstück dx anschaute und darüber integrierte, also so:

$V=-mgx=-\rho\lg x\ \Rightarrow\ dV\ =\ -\rho dxgx\ \Rightarrow\ V=-\frac{1}{2}\rho gx^2$

Wieso kann ich nicht einfach so rechnen?:

$V=-mgx=-\rho\lg x$

$\rho=\ Massendichte\ \wedge\ l=Länge\ des\ Seils$

Danke im Voraus!

Answer 1

[Reggid]

1) deine version ist falsch (um einen faktor 2)

wenn schon dann müsstest du schreiben

$\frac{m_x}{2}\left(\frac{d}{dt}x\right)^2+\frac{m_y}{2}\left(\frac{d}{dt}y\right)^2$ wobei m_x die masse jenes teil des seils ist dass bereits vertikal hängt, und m_y jener teil der auf auf dem tisch liegt.

aber da dx/dt=dy/dt, und m_x+m_y=m, kommst du genau auf das was in der lösung steht.

aber eigentlich macht es überhauptk keinen sinn so etwas wie dy/dt zu schreiben. du hast hier ein eindimensionales problem, die position des seils wird durch genau eine koordinate x beschrieben, die dir sagt welcher teil des seils über den tisch hängt. dein Lagrangian ist also eine funktion nur von x und dx/dt.

2) weil die höhe für jedes infinetsimale teilstück des seils eine andere ist. also musst du über x summieren. stell dir das seil diskretisiert vor, als viele kleine kugeln mit masse M (die summe über alle kuglen ergibt die masse m). eine kugel in höhe x1 hat die potentielle energie M*g*x1, eine kugel in der höhe x2 hat die potentielle energie m*g*x2, usw... . um auf die gesamte potentielle energie zu kommen musst du die beiträge von allen kugeln aufsummieren. und im kontiniuerlichen fall musst du eben integrieren.

Comments

[Mrxxn]

Vielen Dank für die Antwort, das hat es klar gemacht!