Frage von kamel656, 52

Aussagenlogik Verständnisfrage?

Hallo, wir sind gerade bei der Aussagenlogik. Ergibt für mich soweit auch alles Sinn, aber ich habe Probleme bei folgendem Satz:

"Nur wenn es regnet, ist die Straße nass."

Das sei laut dem Prof eine Implikation und keine Äquivalenz. Warum? Heißt das nicht, dass die Straße hier keine andere Möglichkeit hat, als nur durch Regen nass zu werden?

Antwort
von ClydefrogXL, 13

Dein Professor liegt falsch. Irren ist menschlich.

Wenn die Straße NUR nass ist, wenn es regnet, gilt die Umkehrung:
Die Straße ist nass => Es hat geregnet   (mangels Alternativen der Verursachung).
Damit gilt:
Es regnet => Die Straße ist nass
Die Straße ist nass => Es regnet

Fakt.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 31

Das bedeutet doch nur anders geschrieben

Die Straße ist nass ⇒ Es regnet

Es gilt jedoch nicht

Es regnet ⇒ Die Straße ist nass

Es wird nur ausgesagt, dass wenn sie nass ist, dies nur möglich ist, wenn es regnet. Es bedeutet nicht, dass wenn es regnet, die Straße nass sein muss.
______________

Das Schwierige bei solchen Aussagen ist, dass wir viel zu sehr dazu geneigt sind, die Wahrheit im Kopf zu überprüfen. Also es meldet sich sofort ein kleiner Qualitätsprüfer in uns und sagt: "Das stimmt doch gar nicht. Die Straße kann auch anders nass werden." Nur darum geht es hier nicht. Es geht nicht um den Wahrheitsgehalt der Aussage, sondern darum, ob die Schlussfolgerung richtig ist.
_____________

Schlüsselwörter für Implikation sind "wenn, dann", für Äquivalenz "genau dann wenn".

Kommentar von ClydefrogXL ,

ahm, nein.
Da steht "nur". Und das ist genauso wie gdw.

Antwort
von Galdur, 23

Genau das heiß es. Und so etwas nennt man eine Implikation.

Aus A folgt B: Nur wenn es regnet (A), wird die Straße nass (B).


Eine Äquivalenz kannst du dir als "Gleichheit" vorstellen. Sie ist definiert als die gegenseitige Folgerung von A und B, also:

A -> B und B -> A.


Also in unserem Beispiel: 


[A -> B]: Wenn es regnet (A), wird die Straße nass (B).

Stimmt.

[B -> A]: Die Straße ist nass (B), also muss es geregnet haben (A). 

Genau hier ist das Problem: Die Strasse kann auch nass geworden sein, weil ein Depp gegen 'nen Hydranten gefahren ist.

Äquivalent wäre es also nur, wenn beide Folgerungen wahr sind. Somit ist dein Beispiel keine Äquivalenz, sondern eine simple Implikation.


Bezüglich des "nur": Wenn es tatsächlich so an der Tafel gestanden hätte, hättest du recht. Da glaube ich aber eher, dass da etwas durcheinander gebracht wurde. Weil ganz offensichtlich kann die Straße durch X weitere Umstände nass werden.


Gruß, Galdur :)

Kommentar von Geograph ,

Laienhafte Frage:

Die Aussage "Nur wenn es regnet, ist die Straße nass." ist doch offensichtlich falsch (falsch = Normalsprache) ??

Wie heißt so eine falsche Aussage in "Logik"-Sprache ?

Kommentar von kreisfoermig ,

Dies ist nicht falsch, sondern eben keine Tautologie. Die Aussage ist aber auch keine Kontradiktion. Betrachte folgenden Rahmen:

(w) Man kann sich eine verlassene Stadt (evtl. nach Aussterben der Menschen) vorstellen. Es gibt keinen Fluss in der Nähe. Dann, jedes Mal wenn die Straße nass ist, so muss es so sein, dass es geregnet hat.

Die Welt (w) stellt eine mögliche Situation vor, in der gilt N→R. In unserer Welt (die Welt) ist N→R unerfüllt. Daher ist N→R kontingent (weder eine Kontradiktion(≣niemals erfüllt) noch eine Tautologie(≣immer erfüllt)). Hier bezieht ist immer/niemals in Bezug auf die möglichen Interpretationen/möglichen Rahmen/möglichen Kontexte/möglichen Welten gemeint.


Kommentar von Geograph ,

Verstehe ich es richtig?

Die Aussage "Nur wenn es regnet, ist die Straße nass." kann in der Wüste richtig und in einer bewohnten Stadt falsch sein.

Damit die Aussage kontingent ist, müßte es aber doch eigentlich heißen: "Nur wenn es regnet, ist eine Straße nass." ??

Kommentar von kreisfoermig ,

Das mein ich gar nicht. Aus Sicht der Sprachwissenschaft hättest du ja recht. Aus Sicht der Logik sieht man nur formale Bestandteil des Satzes, die zunächst keine Bedeutung haben. Erst anhand eines Rahmens wird mittels einer formalen Interpretation dem Satz ein Sinn verliehen (und somit eine Bedeutung und damit (meistens) ein fixierter Wahrheitswert). Here hast du die syntaktische Struktur

N(s) → R(s)

In einem Rahmen wird dies semantisch interpretiert als

„wenn Max-Weber Straße nass ist, dann regnet es auf der Max-Weber Straße“ in einem anderen Kontext „Når det er vådt på Nørrebrogade, så regner det på Nørrebrogade“ in noch einem andere ‘If Whitehall Pl is wet, then it has rained on Whitehall Pl.‘ in noch einem andere „Wenn ein Tier warmblütig ist, so ist es ein Säugertier.“ und noch „wenn eine reelle Zahl positiv ist, so ist sie auch eine Quadratzahl.“

Beachte: Keine der syntaktischen Bestandteile hat eine zwingende Interpretation. In der Logik sieht man nur die Struktur.

Kommentar von Geograph ,

Danke!

Ich verstehe es zwar nicht wirklich, aber wahrscheinlich ist es eben nicht mein Metier (:-(

Kommentar von ClydefrogXL ,

Das Gesagte stimmt auch nicht.

Die Aussagen "Nur wenn A, dann B" ist eine Äquivalenzbeziehung. Da der Schluss "B also A" erlaubt ist.

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