Wer kann mir die Aussagenlogik erklären (Implikation: aus Falschem folgt Beliebiges)?
A: ich bin morgen gesund B: ich gehe mit euch ins Kino A => B (Wenn ich morgen gesund bin, dann gehe ich mit euch ins Kino.)
Die Implikation ist richtig, wenn A und B zutreffen. Die Implikation ist falsch, wenn A zutrifft (ich bin morgen gesund), aber B (ich gehe mit euch ins Kino) nicht zutrifft. Soweit so logisch... Wieso aber ist die Implikation richtig, wenn A nicht zutrifft unabhängig vom Zustand von B? Also, wenn ich bin morgen nicht gesund und gehe ins Kino oder auch nicht, dann soll die Aussage auch wahr sein. Aber das stimmt doch nicht. Niemand weiß, ob ich wirklich ins Kino gegangen wäre, wenn ich gesund gewesen wäre...
Welches Fach ist das und wieso gilt die Prämisse?
6 Antworten
Mal ganz plump ausgedrückt: Wir wollen wissen, welche der folgenden 4 Personen gelogen haben. Alle 4 behaupten, dass sie mit euch ins Kino gehen, wenn sie morgen gesund sind.
- Person 1 ist morgen gesund und geht mit euch ins Kino. Genau das hat sie auch gesagt, also ist sie kein Lügner.
- Person 2 ist morgen gesund und geht nicht mit euch ins Kino. Sie hat also eiskalt gelogen.
- Person 3 ist morgen krank und geht mit euch ins Kino. Person 3 hat aber gar nicht gesagt, was passiert, wenn sie morgen krank ist, also hat sie nicht gelogen.
- Person 4 ist morgen krank und geht nicht mit euch ins Kino. Ähnlich wie Person 3 hat sie nicht gelogen.
Von den 4 Personen können wir also nur Person 2 nachweisen, dass sie gelogen hat (ihre Aussage ist falsch). Bei Personen 3 und 4 wissen wir es nicht so genau, aber da eine Aussage entweder wahr oder falsch sein muss, entscheiden wir uns im Zweifel für den Angeklagten: Die Aussagen von Personen 1, 3 und 4 sind wahr.
Und was wäre, wenn man im Zweifelsfall einfach keine Entscheidung fällt?
Weil die Implikation nichts über den umgekehrten Fall sagt. Besseres Beispiel:
Wenn es regnet ist die Straße Nass.
Nun hat es nicht geregnet aber die Straße ist Nass (Putzwasser, Feuerwehr o.ä.), das widerspricht nicht der Implikation, also ist die Aussage soweit wahr da nicht falsch.
Auch wenn es nicht regnet und die Straße trocken ist, widerspricht es nicht der Implikation.
Ein Widerspruch ergibt sich allerdings, wenn es regnet und die Straße nicht nass ist.
Du sagst du gehst ins Kino WENN du gesund bist.
Die Umkrhrung ist aber nicht "wenn nicht gesund gehe ich nicht ins Kino". Du kannst auch krank ins Kino. Oder einkaufen. Oder im Bett bleiben.. oder... oder... oder..
Du kannst aus "nicht gesung" also alles folgern ;)
Das kommt durch die Definition der (materialen) Implikation:
A impliziert B = (Nicht A) ODER B
Damit ist die Implikation immer dann wahr, wenn A nicht zutrifft. Sobald A zutrifft, muss B auch zutreffen, damit die Implikation wahr ist. Sollte A zutreffen, B aber nicht, ist die Implikation falsch.
Diese materielle Implikation entspricht auch der hinreichenden Bedingung.
Man darf sie aber nicht mit der Kausalität (inhaltlicher Zusammenhang) von A und B verwechseln - und genau darauf bist du in der Frage gestoßen
Wenn du also ein Jahr lang krank warst kann der Satz "Immer wenn ich gesund war, bin ich ins Kino gegangen." (also gesund => Kino) überhauptnicht falsch sein; dazu hättest du ja mal gesund zu Hause bleiben müssen.
Für einen Tag entsprechend.
Weil A die Voraussetzung ist und B die Implikation selbst. Tatsachen sind immer Wahr
Du könntest jetzt argumentieren, dass das Prinzip "Im Zweifel für den Angeklagten" ziemlich willkürlich ist und dass man ebenso gut Personen 3 und 4 als Lügner hinstellen könnte ("Im Zweifel gegen den Angeklagten").
Aber das widerspricht der Intuition gewaltig. Stell dir vor, Person 3 hätte folgendes gesagt:
Wenn ich morgen gesund bin, gehe ich mit euch ins Kino. Und wenn ich morgen nicht gesund bin, gehe ich trotzdem mit euch ins Kino.
Intuitiv ist diese Verkettung von Aussagen genau dann wahr, wenn Person 3 mit euch ins Kino geht.
Nehmen wir nun wieder an, Person 3 ist morgen krank und geht mit euch ins Kino. Hätten wir das Prinzip "Im Zweifel gegen den Angeklagten", wäre der erste Satz von Person 3 falsch. Der zweite wäre wahr, aber eine Aussage (A und B) ist nur wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
D.h. Person 3 hätte gelogen, obwohl sie tatsächlich mit euch ins Kino geht. Das ist aber nicht das, was wir wollen.
Wir möchten die Möglichkeit nicht ausschließen, dass sich die Aussagen von Personen 3 und 4 im Nachhinein als wahr herausstellen können, also sollten wir sie lieber als wahr kennzeichnen.