Was bedeutet -ln2 bzw. wie kommt man darauf?
Hey! Wir berechnen gerade diese Formel in Physik und an sich verstehe ich die Formel und die Umstellung etc. Aber ich verstehe nicht wirklich wieso dort -ln2 (- Logarithmus 2) steht, mein Lehrer wusste nicht wirklich wie er es mir Mathematisch herleiten kann, er meinte nur das sich irgendwas verdoppelt aber er kannte die Mathematische Herleitung nicht. Weiß das jemand von euch?
2 Antworten
Der -ln(2) kommt über den Zusammenhang zwischen Zerfallskonstante und Halbwertszeit hinein. Das ist der Faktor, den man braucht, um zwischen dem Zerfall auf 1/e (Zerfallskonstante) und 1/2 (Halbwertszeit) umzurechnen.
Siehe hier "Herleitung von Gleichung (5)"
Hallo,
die Halbwertzeit ist die Zeit, die es braucht, bis von einer Anfangsmasse aufgrund von Zerfall nur noch die Hälfte vorhanden ist.
Das bedeutet, daß nach zwei Halbwertzeiten von dieser Hälfte wieder nur eine Hälfte, also ein Viertel vorhanden ist, nach drei Halbwertzeiten (HWZ) ein Achtel.
Insgesamt kann man hieraus die Formel M(n*HWZ)=M0*1/2^(n*HWZ), wobei M (HWZ) die noch vorhandene Masse nach n HWZ ist, M0 die Anfangsmasse.
In dieser Form ist die Formel allerdings noch unpraktisch, denn normalerweise lautet die Fragestellung so: Eine Masse hat eine Halbwertzeit von s Jahren. Wieviel davon ist nach t Jahren noch vorhanden?
Nach t Jahren sind t/s Halbwertzeiten vergangen.
Es ist demnach noch 1/2^(t/s)*M0 Masse übrig.
Beispiel C14-Methode zur Altersbestimmung.
Man weiß, daß das Kohlenstoffisotop C14 - wenn es nicht von einem lebenden Organismus ständig neu aufgenommen wird, so zerfällt, daß nach etwa 5730 Jahren nur noch die Hälfte der ursprünglichen Masse davon vorhanden ist.
Wieviel davon finden wir 10000 Jahre nach dem Tod dieses Organismus, wenn er also aufgehört hat, neues C14 aus der Umgebung aufzunehmen?
10000 Jahre sind 10000/5730=1,745 Halbwertzeiten.
Nach 10000 Jahren ist also von der ursprünglichen Masse M0 noch M0*1/2^1,745=29,83 % vorhanden.
Das geht ohne Logarithmus. Wenn wir aber einen Organismus finden, bei dem noch 35 % der ursprünglichen Masse vorhanden ist und wir sein Alter wissen möchten, lautet die Gleichung so: 0,35*M0=M0*1/2^t=2^(-t).
Um -t aus dem Exponenten zu bekommen, logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung und kürzen vorher durch M0:
ln (0,35)=ln (2^(-t))=-t*ln (2) |:ln (2)
-t=ln (0,35)/ln (2)
t=-ln (0,35)/ln (2)=1,515.
Dies ist noch nicht das Alter der Probe, sondern die Anzahl der Halbwertzeiten, die seit dem Tod der Probe vergangen sind. 1,515*3750=5681,25 Jahre, wobei dies ein Mittelwert ist und das tatsächliche Alter um einige Jahrzehnte abweichen kann.
Nun siehst Du aber, wo der ln (2) herkommt. Die 2 kommt daher, weil es sich um eine Halbwertzeit handelt, weil die Einheiten also auf die Halbierung des ursprünglichen Materials geeicht sind.
Herzliche Grüße,
Willy