Mikroökonomie- Herleitung der Steigung der Budgetgeraden?
Ich verstehe aus der Logik heraus, dass die Steigung der Budgetgeraden: -p1/p2 ist. Allerdings habe ich weder im Buch von Varian noch im Internet eine Herleitung finden können.
Kann jemand die Steigung der Budgetgeraden mathematisch Herleiten? lg
1 Antwort
Danke für die spezifische Fragestellung. Es gilt innerhalb des Budgets:
∑ p[i]x[i] = Gesamtausgaben ≤ m …(0)wobei hier m = Budget, und x[0], x[1], … die Gütermengen und p[0], p[1], … deren Stückpreise sind. (Die Güter seien g[0], g[1], … in deinem Falle betrachte man ja nur 2 Güter: 1 & 2.)
Nutzenmaximieren erfordert maximierte Gütermengen, welche wiederum durch „Punkte auf der Budgetlinie“ charakterisiert sind. Ein Punkt (x[0], x[1], …), das heißt ein Tupel von Gütern, sprich ein Güterbündel, liegt dann auf der Budgetlinie, wenn gilt:
∑ p[i]x[i] = mD. h. aus ≤ wird =. Mit zwei Gütern sind die o. s. Bedingung äquivalent zu
p₁x₁ + p₂x₂ = m …(2)
Dies ist eine Gerade mit einem Richtungsvektor (für n mehr als 2 Güter haben wir leider n–1 Richtungen aber zum Glück immer nur 1 Normvektor, eine Richtung, in die man geht, um der Budgetlinie zu entkommen). Der Richtungsvektor kann durch die Tangente oder deren Steigung charakterisiert werden:
schreibe x₂ in Bezug auf x₁ (anhand (2)):
x₂ = f(x₁) = (m – p₁x₁) / p₂Dann gilt Steigung = dx₂ / dx₁ = -p₁/p₂. Wir bezeichnen mit MOC den absoluten Wert dieses Differenzials.
Diese Steigung ist für folgende sehr einfache Anwendung wichtig. Angenommen, man ändere x₁ durch eine kleine (infinitesimale) Menge ∆x₁—dann liegt womöglich nach dieser Änderung das neue Güterbündel (x₁+∆x₁, x₂) nicht mehr auf der Budgetlinie. Um wie viel muss sich nun x₂ ändern, damit das Bündel wieder auf der Budgetlinie liegt? Wir suchen hierfür ein ∆x₂, so dass (2) wieder gilt mit (x₁+∆x₁, x₂+∆x₂) statt (x₁,x₂). Die Lösung lautet ∆x₂ = –MOC·∆x₁, wobei MOC = p₁/p₂.
Die zweite „fortgeschrittenere“ Anwendung kommt im Zusammenhang mit Nutzen: Sei U(x) der Nutzen eines Güterbündels x = (x[0],x[1],…). Für einen fixierten Nutzenwert, v, können wir die Punkte (Güterbündel), x, für die U(x)=v gilt, untersuchen. Dies bildet eine Kurve/Fläche. Wir können analog zu Preis fragen, wie Güterbündel kompensiert/geändert werden können, aber so dass das Bündel auf der Fläche liegt (≡ den Nutzen nicht ändert). Die Antwort hierfür lautet, wenn x[i] durch inifinitesimales ∆x[i] sich verändert, so muss sich jedes x[j] durch ∆x[j] ändern, so dass gilt ∆x[j]/∆x[i] = (∂U/∂x[i]) / (∂U/∂x[j]). Das mag etwas über deinen Kopf gehen, aber hoffentlich nicht: es ist keine komplizierte Mathe, sondern sind nur partielle Differenziale (nachschlagen!). Wir bezeichnet mit MRS (marginal rate of substitution) den absoluten Wert dieses Differenzials. Mit MOC und MRS haben wir quasi das erste Gesetz in der Haushaltslehre:
Angenommen, die Nutzenfunktion, U(·), sei eine monotone stetig differenzierbare Funktion. Sei x = (x[0],x[1],…) ein Güterbündel. Dann ist
MRS(x) = MOC(x) für je zwei Güter i, j
eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass keine Änderung im Güterbündel möglich ist, die entweder Gesamtausgaben strikt absenkt (ohne Nutzen zu verringern) oder Nutzen strikt erhöht (ohne Gesamtausgaben zu erhöhen).
Auf diesen Weg kann man Haushaltsoptima leicht bestimmen.
Sehr informativ, vielen Dank!
Das muss ich erstmal verdauen!!