Wie findet man mathematisch die Lagrangepunkte?
Hi, ich beschäftige mich momentan mit den Lagrangepunkten. Doch wie findet man sie eigentlich mathematisch? Dazu finde ich im Internet leider nichts. Punkt 4 und 5 kann ich einigermaßen verstehen (60° zu Objekt O2) und Punkt 3 im 180°-Winkel zu O1 und O2. Doch wie entstehen Punkt P1 und P2? Und wie lässt sich das erklären, dass alle Punkte ihren jeweiligen Platz haben?
Schonmal danke!
4 Antworten
Die Lagrange Punkte ergeben sich aus der Überlagerung der Gravitationspotentiale. Lagrangepunkte sind Punkte im Gesamten Gravitationsfeld, denen eine besondere Bedeutung zugesprochen werden und dementsprechend gelten besondere Bedingungen für diese.
Wenn du diese Bedingungen kennst, kannst du dementsprechend die Gleichung für das dort herrschende Gravitationspotential aufstellen.
Für das Gravitationspotential eines Objekts wird der 0 Punkt bei R=∞ definiert.
somit müssen wir für das Potential von unendlich bis R integrieren und erhalten dementsprechend auch ein negatives Vorzeichen für das Gravitationspotential was eben daher kommt, weil wir den 0 Punkt bei R=∞ definiert haben, die potentielle Energie kann also nur abnehmen und muss kleiner als 0 sein.
Nun kann die Gleichung für die Punkte entsprechend der Bedingungen aufgestellt werden.
Wichtig ist dabei zu beachten, dass in dieser Berechnung jedoch die Zentrifugalkraft außenvor gelassen wird, wir nehmen also an, dass die Erde und die Sonne still stehen würden. Also stark vereinfacht.
Doch wie findet man sie eigentlich mathematisch?
Das wir hier genauer beschrieben:
Für P1 und P2 kann man beispielsweise das gewöhnliche Hebelgesetz heranziehen.
Das ist physikalisch schlichtweg falsch.
Die Lagrangepunkte haben etwas mit Gravitation ind Fliehkraft zu tun, aber sicher nichts mit dem gewöhnlichen Hebelgesetz.
Sagen wir, es geht um das System Erde-Sonne. Auf einen Körper wirkt dann die Kraft
F_gesamt = F_S + F_E
(die beiden Kräfte sind dabei als "vorzeichenbehaftet" zu verstehen, können also je nach Richtung der Kraft positiv oder negativ eingehen)
Diese Gesamtkraft stellt dann eine Zentripetalkraft:
F_z = F_gesamt
In einem Lagrange-Punkt befinden wir uns, wenn die Zentripetalkraft eine Rotation mit derselben Periode ermöglicht, wie die Rotation der Erde um die Sonne, also
F_z = m*r*(2pi/T)^2
mit T=1a.
Nachtrag: Das klappt so natürlich nur für L1, L2 und L3, die auf der Verbindungslinie Erde-Sonne liegen!