Wie berechne ich Abstand von Punkt und Gerade allgemein(2D)?
Hey, wenn ich 2 Punkte P(p1,p2) und Q(q1,q2) habe und daraus eine Gerade Bilde, erhealte ich ja z.B. g: x = (p1,p2)^t +r (q1-p1, q2-p2)^t , r € R
Wie berechne ich den Abstand eines punktens (x1,x2) von dieser geraden.
Also wie kann ich das allgemein berechnen, so dass am ende eine "Formel" raus kommt?
5 Antworten
Eine trigonometrische Lösung:
Gerade 1:
P1 (x1|y1)
P2 (x2|y2)
PS (xS│yS) Lotfußpunkt
Steigung der Geraden 1:
m = (y2 - y1) / (x2 – x1) = (yS – y1) / (xS – x1)
(1) yS = y1 + m * xS – m * x1
Gerade 2 (Lot von P3 auf PS):
P3 (x3|y3)
Steigung der Lotlinie:
m_L = -1/m = (yS – y3) / xS – x3)
(2) yS = (-xS + x3 + y3 * m) / m
(1) und (2) gleichsetzen:
y1 + m * xS – m * x1 = (-xS + x3 + y3 * m) / m
xS = ((x3 + x1 * m² + m * (y3 – y1)) / (1 + m²)
yS = y1 + m * xS – m * x1
Probe mit den Beispieldaten von precursor:
P1(2|3)
P2(7|5)
P3(4|6)
xS = 4,7586... (138/29 = 4,7586...)
yS = 4,1034... (119/29 = 4,1034...)
d = 2,0426... (Pythagoras)
im zweidimensionalen gibt es noch eine andere Möglichkeit ohne Vektorrechnung
Gerade durch die beiden Punkte aufstellen
Normale zu dieser Geraden durch den dritten Punkt zu dem der Abstand berechnet werden soll. Normalensteigung = negativer Kehrwert der Geradensteigung
beide Geraden schneiden, Schnittpunkt ist vierter Punkt
Abstand des dritten zum vierten Punkt mit Abstandsformel (Pythagoras). Dieser Abstand entspricht dem Abstand des dritten Punktes zur Geraden durch die ersten beiden Punkte
ich habe doch geschrieben ohne Vektorrechnung, also haben die Geraden die Form y=mx+b
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,Differentialgeometrie
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
Normalengleichung yn=fn(t)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
gegeben: Die Funktion y=f(x)=... und der Punkt xo=..wo die Tangenten oder Normale liegen soll.
bei dir wäre f(x)=... die Gerade,die durch die beiden Punkte geht P1(x1/y1) und P2(x2/y2)
mit m=(y2-y1)/(x2-x1) und mit einen der beiden Punkte P1(....) oder P2(....) kannst du dann auch b=.. ausrechen
Form der Geraden y=f(x)=m*x+b
2) Nun kannst du den Abstand Punkt-Gerade berechnen.
Der kürzeste Abstand ist die Normale,die durch den Punkt P(x/y) geht und schneidet dann deine Gerade im Punkt Po(xo/yo)
Wäre der Punkt zum Beispiel P(2/4) ergibt eingesetzt in die Normalengleichung
4=-1/f´(xo)*(2-xo)+f(xo)
Wir haben hier nun 1 Gleichung und die Unbekannte xo ,also lösbar.
Abstand von 2 Punkten in der Ebene mit z=0
d=Betrag Wurzel(x2-x1)²+(y2-y1)²
bei einer Geraden f(x)=m*x+b abgeleitet f´(x)=m also f´(xo)=m
4=-1/m*(2-xo)+(m*xo+b)
nun nach xo umstellen und du hast den Schnittpunkt von P(x/y) und der Geraden.
Tipp:Mach eine Zeichnung mit einer Geraden und einem Punkt .
Zeichne eine Normale (steht senkrecht auf der Geraden) durch den Punkt P(x(y)
und mess den Abstand aus.
Dann rechnest du das Ganze nach.
Ich benenne das mal um.
Punkte die die Gerade bilden :
P1(x1|y1)
P2(x2|y2)
y = m * x + b
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = y1 - m * x1
Punkt Nummer 3 :
P3(x3|y3)
Kürzester Abstand des Punktes P3 von der Geraden y = m * x + b :
m * x + b = - (1 / m) * x + (y3 + (x3 / m))
x_s = (x3 + (y3 - b) * m) / (m² + 1)
y_s = m * x_s + b
d = √((x_s - x3) ^ 2 + (y_s - y3) ^ 2)
Beispiel zur Veranschaulichung :
P1(2 | 3)
P2(7 | 5)
P3(4 | 6)
m = (5 - 3) / (7 - 2) = 2 / 5
b = 3 - (2 / 5) * 2 = 11 / 5
x_s = (4 + (6 - 11 / 5) * 2 / 5) / ((2 / 5) ^ 2 + 1) = 138 / 29
y_s = (2 / 5) * (138 / 29) + (11 / 5) = 119 / 29
d = √(((138 / 29) - 4) ^ 2 + ((119 / 29) - 6) ^ 2) = 2,042648719947571
Fazit :
Der kürzeste (!!) Abstand des Punktes P3(4 / 6) von derjenigen Geraden, die von den Punkten P1(2 | 3) und P2(7 | 5) gebildet wird, beträgt 2,042648719947571
Und dass das alles auch stimmt habe ich mit Geogebra überprüfen lassen :
(Auf das Bild klicken, um es zu vergrößern !)
Die Formeln stimmen also alle, GeoGebra zeigt ebenfalls 2,0426... an.
Formel
[Gerade - Punkt] * Richtungsvektor = 0
jetzt r berechnen
dann r in Gerade einsetzen
du erhälst dann F den Fußpunkt;
dann Abstand P zu F mit Abstandsformel zweier Punkte berechnen.
Aber wenn ich das so versuche komme ich dort nicht weiter, wo ich die beiden Geraden schneide. Ich bekomme ja ein LGS mit 2 unbekannten (r, s) und 2 gleichungen.
(i) p1 - x1 + r*(q1-p1) = s(q2 - p2)
(ii) p2 - x2 + r*(q2-p2) = s(p1 - q1)
Ich komme nicht drauf, wie ich da jetzt auf den Punkt komme