Gleichung der Ebene durch vier Punkte, fehlende Koordinate eines Punktes?
Es geht um Aufgabe 6 a und b
Zu a = Ich weiß dass ich die Gleichung in Koordinatenform schreiben muss, allerdings fehlt bei Punkt D die x2 Koordinate.
Mein Ansatz : ich bestimme zuerst die zwei Richtungsvektoren u und v indem ich AB und AD berechne. Dann AB x AD : Vektorprodukt um Normalenvektor zu bestimmen, allerdings weiß ich nicht wie ich die fehlende x2 Koordinate von D herausfinden kann
Und zu b : hier bin ich total lost und weiß nicht was ich machen soll. Kann mir bitte jemand helfen?
2 Antworten
Eine Ebene ist schon durch drei Punkte eindeutig festgelegt. Bilde mit den Differenzvektoren AC und AB das Kreuzprodukt. Dieser ist dann ein Normalenvektor der Ebene, sodass du sie in Koordinatenform darstellen kannst.
Zur Kontrolle:
E: 2 * x_1 + 12 * x_2 + 8 * x_3 = 64
Setzt du dort nun den Punkt D ein - und dieser liegt ja in der Ebene -, dann muss die x_2 Koordinate so gewählt sein, dass die Gleichung erfüllt ist.
Zur Kontrolle:
D = (0, 8/3, 4)
Winkel zwischen der Ebene und den Koordinaten-Ebenen lassen sich über das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene und den Normalenvektoren der Koordinaten-Ebenen bestimmen. Der Normalenvektor der x-y-Ebene ist hierbei der Einheitsvektor in z-Richtung usw. Du kannst somit das Skalarprodukt bereits als die Einträge des Ebenen-Normalenvektors in den verschiedenen Koordinaten ablesen - musst also dann nur noch den Arccos des Einheits-Skalarproduktes berechnen…