Energie des magnetischen Feldes einer Spule?

Hey, ich muss gerade für Physik die Formel für die Energie des Magnetfeldes herleiten. Unser Lehrer hat uns eine Seite verlinkt, die die Herleitung grob erklärt. Ich verstehe aber nicht genau, wie die Seite von der ersten auf die zweite Gleichung gekommen ist. Ich hab verstanden, dass es eine Differentialgleichung ist, aber ich hab noch nicht verstanden, wie ich dann auf die Formel komme.

Comments

[KimMell]

Wie du auf die Differenzialgleichung selbst kommst, oder auf die Lösung?

[grace501]

Ich versteh nicht, was zwischen den beiden Formeln passiert, d.h. bis zu der oberen Formel bin ich gekommen. Ich weiß aber nicht, wie ich die untere jetzt raus bekomme

Answer 1

[KimMell]

$\frac{dE}{dt}=L\frac{dI}{dt}I$ Jetzt kannst du ja auf beiden Seiten Integrieren:

$\int\frac{dE}{dt}dt=\int L\frac{dI}{dt}Idt$ Links integrierst du ja die Ableitung und rechts kannst du L als Konstante vorziehen:

$E=L\int\frac{dI}{dt}Idt$ "Kettenregel rückwärts":

$\int f\left(x\right)f'\left(x\right)dx=\int fdf$

Also:

$E=L\int\frac{dI}{dt}Idt=L\int IdI=\frac{LI^2}{2}$

Answer 2

[Quotenbanane]

$\frac{dE_{mag}\left(t\right)}{dt}=L\cdot\frac{dI\left(t\right)}{dt}I\left(t\right)\ \Rightarrow\int\frac{dE_{mag}\left(t\right)}{dt}dt=\int L\cdot\frac{dI\left(t\right)}{dt}I\left(t\right)dt$

Jetzt schau mal nach, was Integration durch Substitution ist.

Dabei gilt nämlich...

$\int f\left(\phi\left(x\right)\right)\phi'\left(x\right)dx\ =\ \int u\ du$

mit u = phi(x)

Hier in deinem Fall...

$\Rightarrow\int\frac{dE_{mag}\left(t\right)}{dt}dt=\int L\cdot\frac{dI\left(t\right)}{dt}I\left(t\right)dt\ =\ E_{mag}\left(t\right)\ =\ \int L\cdot\frac{dI\left(t\right)}{dt}I\left(t\right)dt$

$\Rightarrow\ E_{mag}\left(t\right)=L\cdot\int u\ du\ \Rightarrow\ E_{mag}\left(t\right)=L\cdot\frac{1}{2}u^2+C$

Mit u = I(t). Ihr setzt anscheinend noch C = 0 (kann man problemlos machen)

Und die Rücksubstitution ergibt...

$E_{mag}\left(t\right)=\frac{1}{2}L\cdot I\left(t\right)^2$

Answer 3

[Bellefraise]

in der 1. zeile steht dE/dt . .

die 2. zeile ist die integration

aus dE/dt = ,....

wird dE = L*dI(t)*I(t) dt

beide seiten integriert ergibt die 2. zeile

halt, vertppt . . auf der rechten seite muss das dt weg