Herleitung von der Formel der kugeloberfläche? (Nivea 9.klasse)?
Hallo,
Wir haben zur Zeit das Thema Kugeloberfläche berechnen. Ich weiß auch, dass die Formel so lautet: 4* pi* r²
Ich verstehe jedoch die Herleitung dieser Formel nicht.
Könnte es mir jemand vielleicht bitte erklären in einem Text?
Lg
3 Antworten
Vielleicht kennst du Archimedes' Herleitung des Kugelvolumens.
Wenn man jetzt z. B. Farbe 1 mm dick auf eine Kugel von 1 m Radius streicht, erhöht sich der Radius auf 1001 mm. Damit kannst du das Volumen der neuen Kugel berechnen.
Die Volumendifferenz ist das Volumen der Farbe. Geteilt durch die Dicke der Farbschicht ergibt die Oberfläche einer Kugel mit einem Radius zwischen 1000 mm und 1001 mm.
Wenn wir die Farbschicht immer dünner machen, kommen wir genau auf die angegebene Flächenformel.
Leider kommt man bei einer Kugel auf keine Weise ohne irgendwelche Grenzwerte aus - das war schon bei der Volumenberechnung der Fall.
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Am besten ist vermutlich noch das Video, auf das Bartosz11 in seiner Antwort hingewiesen hat.
Die Basis für die eindimensionale Länge des Umfanges einer zweidimensionalen Fläche ist am Beispiel Kreis der Durchmesser d, auch bekannt als 2*r. Die Kugel ist praktisch ein dreidimensionaler Kreis, also multiplizierst du diesen Faktor mit sich selbst (4*r²). Und da wir von kreisförmigen Elementen sprechen, kommt auch noch der Faktor Pi hinzu. Fertig ist 4*Pi*r².
Die Erklärung ist etwas zu knapp: Woher kommt das zusätzliche Pi in Pi^2 bei der Oberhyperfläche der 4-dimensionalen Hyperkugel (2 Pi^2 R^3)?
https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8
Ist auf englisch, aber verständlich
Auch dieser Ansatz verwendet Analysis: Grenzübergang zu unendlich kleinen Flächenstücken.
Was hier für eine streng mathematische Vorgehensweise noch fehlt, ist der Nachweis, dass die Flächen sich tatsächlich der Kugeloberfläche annähern. Gegenbeispiel siehe
(hab leider keine direkten Webseiten gefunden zur Annäherung/Approximation der Mantelfläche eines Zylinders durch Dreiecke/Polynome, die sich nach Art eines Akkordeon / einer Ziehharmonika zusammenfalten)