Herleitung Wurzel aus 2*g*s?
Hallo,
ich versuche irgendwie die Herleitung für die oben genannte Formel herzuleiten aber krieg das irgendwie nicht hin.
Kann mir jemand genau erklären wie die Herleitung geht und die mathematisch korrekt hier aufschreiben ?
Danke im Voraus
3 Antworten
Kannst du schon Integralrechnung?
dv = g * dt
dt = ds/v
also
dv = g*ds/v | *v
v*dv = g*ds | ∫
∫v*dv = ∫g*ds
v²/2 = g*s
v² = 2 * g * s
Am schnellsten und einfachsten geht das meiner Ansicht nach über Energieerhaltung.
Beim freien Fall wird potentielle Lageenergie, die ein Körper aufgrund seiner Postion im Schwerefeld der Erde hat, in kinetische Energie umgewandelt.
Wenn ein Körper mit Masse m eine Strecke s frei fällt (und die Fallstrecke kurz genug ist, um annehmen zu können, dass die Fallbeschleunigung g konstant ist), beträgt die frei werdende potentiellen Lageenergie ΔE = m ⋅ g ⋅ s. Um den Körper aus der Ruhe heraus auf eine Geschwindigkeit v zu beschleunigen wird eine Bewegungsenergie ΔE = 1/2 ⋅ m ⋅ v² benötigt. Bei einem freien Fall (Vernachlässigung von Reibungseffekten) sind diese Beträge gleich groß, da die entsprechende potentielle Lageenergie komplett ohne Verluste in kinetische Energie umgewandelt wird.
Ansonsten könnte man aber auch kinematisch bleiben und mit den Gleichungen
s = 1/2 ⋅ g ⋅ t²,
v = g ⋅ t
für den freien Fall rechnen ...
Auflösen von s = 1/2 ⋅ g ⋅ t² nach t ...
s = 1/2 ⋅ g ⋅ t²
→ t² = 2 ⋅ s/g
→ t = √(2 ⋅ s/g)
Einsetzen in v = g ⋅ t und vereinfachen ...
v = g ⋅ t = g ⋅ √(2 ⋅ s/g) = √(g²) ⋅ √(2 ⋅ s/g) = √(g² ⋅ 2 ⋅ s/g) = √(2 ⋅ s ⋅ g)
2 mal ein Produkt aus 2 Konstanten. Was soll der Term aussagen? Vielleicht schreibst du mal was zum Kontext.
Allgemein für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gelten die Formeln:
s=0,5at^2
v=a*t
Die Beschleunigung a ist nun einfach die Fallbeschleunigung g.
Den zweiten Ausdruck kannst du jetzt nach t umstellen und ihn dann für t im Ersten einsetzen. Das sind:
s=0,5g(v/a)^2
Wenn du das umstellst nach v, erhältst du deine Formel.
Der Betrag der Geschwindigkeit relativ zur Erde, um genau zu sein. Geschwindigkeit ist eine Größe mit Richtung und relativ.
oh sorry hab vergessen aufzuschreiben, dass die Formel aus der Geschwindigkeit für den freien Fall hergeleitet werden soll