Warum ist die Wurzel aus 2 Irrational?
Ich checke es noch nicht so ganz.
Also:
in sämtlichen Videos die ich mir dazu angeschaut habe ging es damit los, dass man Annahmen festlegt. Also der Bruch a/b sollte natürliche Zahlen haben und bereits gekürzt sein, also der maximale ggT ist 1. Die Berechnung dazu verstehe ich auch. Dann wurde jedoch mittels Rechnung widerlegt das der Bruch a/b gekürzt ist, da festgestellt worden ist das a und b gerade Zahlen sind und sich kürzen lassen. Wieso ist dann die Wurzel 2 aufeinmal irrational? kann ich nicht einfach nachträglich kürzen und damit ist es dann wieder rational? Stehe irgendwie auf dem Schlauch.
Danke
8 Antworten
Noch mal ein Versuch:
Ich soll zeigen, dass Wurzel aus 2 irrational ist.
Dazu nehme ich das Gegenteil an, nämlich dass Wurzel 2 rational ist.
Jede rationale Zahl lässt sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben. Da Wurzel 2 nach Definition positiv ist, sind das sogar zwei natürliche Zahlen.
Wenn also Wurzel 2 rational ist, dann gibt es zwei natürliche Zahlen a' und b', so dass gilt
Wenn es eine solche Darstellung gibt, dann gibt es auch eine vollständig gekürzte Darstellung, d. h. zwei teilerfremde Zahlen a und b mit
(denn ich kann ja a' und b' jeweils durch den größten gemeinsamen Teiler teilen).
Wenn dies gilt, dann ist Wenn das gilt, dann ist
2b² = a²
Da 2b² gerade ist, muss dann auch a² gerade sein.
Wenn a² gerade ist, dann ist auch a gerade. Dann gibt es ein c, so dass
2c = a gilt.
Dann ist
2b² = 4c², also ist auch b gerade.
Dann sind also a und b gerade, also nicht teilerfremd.
Und jetzt ribbelt sich das ganze wieder zurück auf:
...
Ja du hast meine Frage nicht durchgelesen, hättest dir viel Zeit sparen könnnen^^.
Doch, habe ich schon. Ich dachte, ich hätte deinen Punkt aufgegriffen - warum darf man diese Annahme machen darf, dass das vollständig gekürzt ist, und warum kann man dann hinterher nicht mehr einfach wiederum kürzen... oder habe ich das falsch verstanden?
q.e.d
p,q sind "nicht teilerfremd" und das war nicht meine Frage.
Naja... In der Frage steht "Warum ist Wurzel aus 2 Irrational?" Das habe ich damit beantwortet. Die Idee ist: Du nimmst mal das Gegenteil an, also dass die Wurzel aus 2 nicht irrational ist. Dann kannst du sie als Bruch p/q schreiben mit p,q teilerfremd. Wenn du jetzt schaffst zu zeigen, dass das aber nicht stimmen kann, muss die Annahme falsch sein und das Gegenteil wahr sein, also dass Wurzel 2 irrational ist.
Die Frage war "Woher kommt die Annahme einfach zusagen, joa das muss irgendwie gekürzt sein, wenn das nicht der Fall ist dann ist das jetzt einfachmal irrational, warum ist das so? Woher kommt diese Annahme das einfach zusagen.
Man arbeitet hier mit einem Widerspruchsbeweis (oder auch indirektem Beweis). Da es bissl blöd ist, zu zeigen, dass Wurzel 2 irrational ist, nimmt man das Gegenteil an. (Wurzel 2 ist rational). Wenn Wurzel 2 rational wäre, kannst du sie als vollständig gekürzten Bruch p/q schreiben. Wenn du jetzt schaffst, zu zeigen, dass p/q aber nicht vollständig gekürzt sein kann, muss deine Annahme falsch sein. Wenn deine Annahme falsch ist, muss das Gegenteil wahr sein. -> Wurzel 2 ist irrational.
Ist es jetzt klarer?
Wenn es stimmt, dass p/q nicht vollständig gekürzt sein kann, dann versteh ich es. Aber das habe ich so nicht verstanden. Da der gemeinsame Teiler aber nicht fremd ist, lässt sich dieser doch kürzen, woher ja die Aussage stammt das sich a/b im ungekürzten Zustand befinden.
Genau das ist der Punkt. Der Bruch würde sich kürzen lassen! Aber a/b bzw. p/q sind doch laut der Annahme schon vollständig gekürzt. Erkennst du hier den Widerspruch? Der Bruch ist ungekürzt, obwohl er das laut der Annahme eigentlich gar nicht sein kann.
Der einzige Schluss ist: Die Annahme kann nicht stimmen.
jetzt kommen wir der Sache schon näher.
Warum kann er das GAR NICHT sein. Warum MUSS dieser vollständig gekürzt sein.
Ich meine, man ist doch nicht im Mathematikunterricht verewigt worden, bloß weil man irgendeine Annahme stellt. Das muss ja Hand und Fuß haben. Daher wieder zurück auf meine eigentliche Frage, Woher kommt der Grundgedanke überhaupt so eine Annahme zustellen.
Mein Eindruck ist einfach, dass sich gar nicht damit beschäftigt wird. Es wird einfach hingenommen, das diese Annahme widerlegt worden ist und damit ist es irrational, Punkt. Ich würde das einfach gerne zu 100% verstehen wollen und das tue ich nicht, wenn ich nicht weiß wie er sich diese Annahme zurecht gereimt hat.
Auf welcher Theorie basiert diese Annahme
Es muss ja eine Theorie geben die besagt, dass bei einer Umrechnung von einer Wurzel2,3... in einen Bruch das Ergebnis vollständig gekürzt sein muss, damit es als Rational gilt und im gegenteiligen Fall wird es irrational. Woher kommen die Bedinungen für eine Rationale Zahl, damit man überhaupt auf die Idee kommt soetwas anzunehmen.
Ganz einfach. JEDE rationale Zahl lässt sich als genau einen gekürzten Bruch zweier teilerfremder Zahlen darstellen. Also müsste es auch für Wurzel2 solch eine Darstellung geben, wenn es eine rationale Zahl wäre. Und das führt man eben zum Widerspruch.
Darum geht es ja nicht. Es geht darum, dass ich von der gekürzten Darstellung ausgehe und dann zu dem Ergebnis komme, dass die beiden dafür verwendeten Zahlen durch 2 teilbar sein müssen. Ich also einen Widerspruch kriege. Wenn ich nachträglich kürzen würde, hätte ich ja nicht mehr die Zahlen p und q, die ich ursprünglich als eindeutig gekürzte Darstellung vorausgesetzt habe.
Der Grundgedanke ist der Grundgedanke des Beweisens mittel Widerspruch : Wenn man nur zwei Alternativen hat und keine davon beweisen kann , dann zeigt man ,dass eine der beiden Alternativen falsch ist ....und MUSS schlussfolgern , dass die andere korrekt ist .
Die Begründung " Aufgrund der fehlenden vollständigen Kürzung, ist meine Annahme Widersprüchlich und damit erklär ich die Wurzel 2 für irrational" reicht für mich einfach nicht aus.
was genau beweist mir denn die Annahme außer das doch nicht vollständig gekürzt ist, was hat es denn für folgen.
Eine Begründung wie " Wurzel 2 ist unendlich lang und nicht periodisch und damit lässt es sich nicht als Bruch darstellen" find ich viel anschaulicher um zu verstehen, weshalb es irrational ist.
Versteh ich, dass das anschaulicher ist und für die Schule wird diese Begründung auch vollkommen ausreichen. Aber: Wer sagt dir denn, dass es unendlich viele Nachkommastellen gibt? Könnte es nicht Googol (10^100) viele Nachkommastellen geben? Bis du nicht formal korrekt bewiesen hast, dass Wurzel 2 irrational ist, kannst du diese Aussagen eigentlich gar nicht treffen. Du schließt das praktisch aus der Irrationalität.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, hast du den Beweis soweit ja verstanden. Ich verstehe allerdings nicht, warum die Argumentation für dich nicht ausreicht. Recherchiere vielleicht mal "Widerspruchsbeweis Mathematik" oder "indirekter Beweis Mathematik". Da müsstest du einiges finden. Es ist aber nicht schlimm, wenn dir das noch ein bisschen komisch vorkommt. Erst, wenn du Mathematik vielleicht mal studieren willst, wird das für dich relevant ;)
Ja so genau brauch ich es nicht wissen. Egal dann "ist es halt so"
Ja, dann kommt genau die Aufgabe im 0. Übungsblatt am Anfang des Studiums und du stehst da wie der Ochs vorm Berg und fragst dich, was die Leute von dir wollen. Spreche aus Erfahrung.
Die Idee an einem Widerspruchsbeweis ist folgende: Um eine Aussage A zu beweisen, nehmen wir an, dass A nicht gilt. Dann folgern wir daraus solange, bis sich ein Widerspruch ergibt.
Plakativ ganz einfach so:
Aus nicht A folgern wir irgendwann 1 = 0. Aber es ist nicht 1 = 0, also kann unsere Annahme nicht gestimmt haben - und die war, dass A nicht gilt. Also gilt A. (Es muss nicht der Widerspruch 1 = 0 herauskommen, sondern einfach irgendein Widerspruch. 1 = 0 ist nur ein ziemlich offensichtlicher Widerspruch im bekannten Zahlensystem).
In deinem Beweis geht das genauso: Wir wollen zeigen, dass √2 irrational ist, d.h. dass wir √2 nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben können. Um das zu zeigen, nehmen wir das Gegenteil an:
Hier können wir ohne Einschränkung annehmen, dass p und q teilerfremd sind, d.h. dass der Bruch vollständig gekürzt ist - denn gibt es eine Bruchdarstellung mit irgendwelchen ganzzahligen p und q, dann gibt es auch eine mit teilerfremden p und q; zu der kommen wir, indem wir einfach sukzessive Kürzen bis es nicht mehr geht. Das heißt:
Es gibt teilerfremde p und q, mit denen √2 = p/q gilt.
Das Wichtigste: p und q sind teilerfremd.
Das ist die erste wichtige Aussage. Im Beweis wird dann gezeigt, dass dann sowohl p, als auch q gerade sein müssen. Wenn das aber so ist, sind sie nicht teilerfremd, denn sie haben den gemeinsamen Teiler 2.
Das heißt: p und q sind nicht teilerfremd.
Da haben wir unseren Widerspruch: Wäre √2 irrational, dann gibt es teilerfremde p und q, die nicht teilerfremd sind. Das geht aber nicht. Ich kann nicht blond sein und nicht blond sein. Das ist ein Widerspruch. Also stimmte unsere Annahme nicht (wenn wir mal glauben, dass alle anderen Schlüsse korrekt sind), das heißt, es ist nicht so, dass √2 rational ist: Also ist √2 irrational.
LG
Wir können Wurzel 2 nicht als Bruch darstellen, weil a/b sich noch kürzen lassen. Warum ist das so? 4/6 ist auch ungekürzt und lässt sich als Bruch schreiben.
Wir können √2 nicht als Bruch schreiben, weil √2 irrational ist. Das hat nichts mit Kürzen zu tun - das Kürzen kommt nur im Beweis vor. Welchen Schritt verstehst/akzeptierst du nicht?
Du sagst jetzt im endeffekt "Wurzel 2 ist irrational, weil es eben irrational ist,". Der Beweis ist doch dafür da zu erklären, weshalb es irrational ist und das Hauptargument ist doch das es sich kürzen lässt...
Die Aussage es lässt sich noch kürzen, beinhaltet doch das man es als Bruch darstellen kann.
Meine Frage ist doch gar nicht so schwer zu verstehen. Bisher wurde hier nur antworten nachgeplappert die völlig am Thema vorbeigehen und was man überall lesen kann. Ich habe das Gefühl das viele es ebenfalls nicht wissen, sich aber keiner da große Gedanken zu gemacht hat. "Ist halt so, weil das so ist, ganz einfach".
Nein - vielleicht sollten wir erstmal Definitionen klären:
- Eine reelle Zahl ist rational, wenn sie sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
- Eine reelle Zahl ist irrational, wenn sie nicht rational ist, d.h., wenn sie sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
Der Beweis zeigt: Wäre √2 rational, würde das einen Widerspruch implizieren. Also ist √2 irrational.
Das Hauptargument im Beweis ist der Widerspruch:
- Angenommen, es gibt ganze Zahlen p und q mit √2 = p/q. Ohne Einschränkung sei p/q bereits vollständig gekürzt (d.h. p und q seien teilerfremd).
- Dann ist auch p²/q² = 2.
- Dann ist p² = 2q², also p² gerade, also p gerade.
- Dann lässt sich p als p = 2k mit einer ganzen Zahl k (genau p/2) schreiben.
- Dann ist 4k² = p² = 2q², also q² = 2k², also q² gerade, also q gerade.
- Dann ist p/q ein Quotient zweier gerader Zahlen, also nicht vollständig gekürzt. Das ist aber ein Widerspruch dazu, dass p/q bereits vollständig gekürzt ist.
- Also ist √2 irrational.
An welchem Schritt harkt's?
Die Aussage es lässt sich noch kürzen, beinhaltet doch das man es als Bruch darstellen kann.
Richtig. Das ist ja auch unsere Annahme.
Dann musst du dich wohl besser ausdrücken, denn hier scheint keiner deine Frage wirklich zu verstehen.
- Eine reelle Zahl ist rational, wenn sie sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
- Eine reelle Zahl ist irrational, wenn sie nicht rational ist, d.h., wenn sie sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
6 Dann ist p/q ein Quotient zweier gerader Zahlen, -> gerade Zahlen sind ganze Zahlen, müsste sich also per definition als Bruch darstellen lassen, oder ?
Natürlich ist das so auch nicht richtig. Aber das haben wir ja angenommen. Natürlich ist schon unsere Annahme falsch, dass sich √2 als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Der ganze Beweis basiert ja darauf: Wenn sich √2 als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen ließe... (lässt es sich nicht, aber wenn wir das schon als bekannt voraussetzen, brauchen wir ja den ganzen Beweis nicht).
Zum verständnis... ganze Zahlen sind (-1000... -> +1000....) Zahlen wie -3, -2, +1,+2..... gerade Zahlen: sind Zahlen die sich durch 2 restlos teilen lassen.
2,4,6,8,10 usw. sie sind damit doch automatisch auch immer ganze Zahlen.
Im Beweis kam doch heraus, das a und b GERADE-Zahlen sein müssen, weil durch 2 teilbar und damit müsste es doch eine ganze Zahl sein - wo habe ich denn da den Denkfehler?
Ja. Ich glaube, worauf es ankommt ist folgendes:
- Wir nehmen eine falsche Tatsache an. Wir tun aber so, als wüssten wir das nicht (denn wüssten wir das schon, hätte sich der Beweis erledigt).
- Natürlich sind alle daraus folgenden Aussagen auch falsch (aber nochmal: könnten wir das als bekannt voraussetzen, wäre nichts mehr zu beweisen).
- Unser Ziel ist es aber, einen offensichtlichen Widerspruch zu erzeugen: Es kann nicht sein, dass p und q teilerfremd und nicht teilerfremd sind.
Ich verstehe den Punkt, das bewiesen wurde, dass Wurzel 2 im vergleich zu anderen Brüchen unerwartet nicht teilerfremd ist und damit von anderem zu unterscheiden ist, aber warum ist es gleich irrational?
Es wurde bewiesen es gibt zwei verschiedene arten von Ergebnissen, einmal nicht teilerfremde und teilerfremde, Punkt.
und wenn ich weiß a/b sind NICHT teilerfremd, weshalb kann ich die Wurzel 2 dann nicht als Bruch darstellen?
Wo ist denn dargelegt, das es unsinn ist Wurzel 2 als Bruch darzustellen, mit welcher Begründung? Bloß weil es sich noch kürzen lässt, kann man diesen nicht als Bruch darstellen? Begreif ich nicht. 4/8 ist auch ungekürzt und lässt sich als Bruch darstellen.
Wo ist das Problem es nachträglich zu kürzen?
4/8 ist das selbe wie 1/2 - Jetzt verständlich worauf ich hinaus will?
Ich glaube ja, das es sich nicht als Bruch darstellen lässt, aber warum ist das so und wie hat man sich das hergeleitet.
Bloß weil es sich noch kürzen lässt, kann man diesen nicht als Bruch darstellen?
Wir postulieren doch am Anfang, dass p und q teilerfremd sind. Dann folgern wir, dass p und q den gemeinsamen Teiler 2 haben, also nicht teilerfremd ist. Das ist der Widerspruch, also gibt es keine solchen p und q.
Ja, aber wieso kann man das dann nicht als Bruch darstellen?
Diese Annahme hat wohl nichts damit zu tun, weshalb es nicht als Bruch darstellbar ist.
Ok. Noch mal.
Wir nehmen an, dass sich Wurzel 2 als Bruch schreiben lässt (also rational ist), da steckt jetzt noch nicht drin, dass es gekürzt ist, sondern das ist erstmal nur die Definition von rational.
Wenn das so ist, dann lässt ich Wurzel 2 als gekürzter Bruch schreiben. Das ist keine Annahme, das kann man zeigen, das folgt daraus, dass sich Wurzel 2 als Bruch schreiben lässt.
Für jede Zahl, die sich als Bruch schreiben lässt, gibt es auch eine Darstellung als gekürzter Bruch. 4/6 beschreibt eine Zahl - und dieselbe Zahl lässt sich auch als 2/3, also als gekürzter Bruch schreiben.
Und wenn ich eine Zahl habe, für die ich keinen gekürzten Bruch finde, dann finde ich für sie auch keinen anderen Bruch.
Denn:
Für die Zahl a gibt es eine Bruchdarstellung => Für die Zahl a gibt es eine gekürzte Bruchdarstellung.
Das bedeutet andersherum:
Für die Zahl a gibt es keine gekürzte Bruchdarstellung => Für die Zahl a gibt es überhaupt keine Bruchdarstellung.
Das ist eine Anwendung der Logik:
Wenn gilt: A=> B, dann gilt auch NichtB => NichtA.
Ah okay, a/b lassen sich überhaupt nicht weiter kürzen. Das ist doch mal eine Aussage mit der ich arbeiten kann. Ich dachte halt immer, solange a und b durch zwei teilbar sind muss es doch eine gekürzte möglichkeit geben.
Genau, ich finde eine Darstellung, bei der man nicht weiter kürzen kann... aber dann stelle ich fest, dass ich sie doch kürzen können muss... also gibt es keine.
a lässt sich durch zwei teilen... b auch... aus der Rechnung geht hervor, dass b doppelt so groß wie a ist.
Also wären Zahlen wie 4/2 denkbar. 4/2 würde sich maximal auf 2/1 kürzen, was ja 2 ergibt. 2 ergibt aber keinen Sinn, denn 2² = 4 und wir wollen ja x²= 2 wissen.
2/1 lässt sich aber nicht weiter kürzen, das heißt der Bruch für Wurzel 2 lässt sich nicht in ganzen Zahlen darstellen, logisch?
Äh, nein, das ist nicht logisch.
b ist nicht doppelt so groß wie a, aus welcher Rechnung soll das denn hervorgehen? Das würde ja heißen 2a = b, und damit a/b = 1/2, was soll uns das denn bringen.
Wurzel 2 = a/b
2= a²/b² I *b²
2b²=a² = a gleich doppelt so groß wie b
(meinte a statt b)
Nein, a² ist doppelt so groß wie b². Das heißt aber nicht, dass a doppelt so groß ist wie b.
+/-Wurzel(2)=+/- 1,41421...
hat hinter den Komma unendlich viele Stellen und die sind nicht periodisch
Solche Zahlen nennt man irrational → sind irrationale Zahlen
auch pi=3,14159.. unendlich viele Stellen hinter den Komma,die nicht periodisch sind
Eulerzahl e¹=e=2,71828..
+/-Wurzel(5)=+/-2,2606..
Der übliche Beweis geht etwas abgekürzt so: Unter der Annahme, dass Wurzel(2) rational: Aus a/b teilerfremd folgt a/b nicht teilerfremd. Das ist ein Widerspruch. Damit muss die Annahme falsch sein. Natürlich könntest du diese a/b dann kürzen, aber dann hättest du ja andere a und b.
Bedeutet es dann generell ungekürzte Brüche sind irrational?
Nein. 3/6 ist ungekürzt, aber selbstverständlich nicht irrational!
Ja ne macht keinen Sinn.
Also gilt diese Annahme nur im Kontext zur Aufgabe " Wurzel 2 im Bruch schreiben".
So wie ich das jetzt verstehe:
Das Ergebnis der Gleichung "Wurzel 2 = a/b" ist deshalb irrational, weil a/b im ungekürzten Endergebnis nicht teilerfremd sind.
Nein. Wurzel 2 lässt sich daher nicht als Bruch (genauer: als Bruch zweier ganzer Zahlen) schreiben, weil die Annahme, es ließe sich als Bruch schreiben, zu einem Widerspruch führt. Dieser Widerspruch ist der, dass aus der Annahme, es ließe sich insbesondere als gekürzter Bruch schreiben, folgt, dass eben dieser Bruch kürzbar ist. Da ein Bruch aber nicht gleichzeitig gekürzt und kürzbar sein kann, kann es einen solchen Bruch nicht geben. Also lässt sich Wurzel 2 nicht als Bruch schreiben, ist also irrational.
Es gibt kein Ergebnis der Gleichung "Wurzel 2 = a/b". Das missverstehst du. Es wird angenommen, dass diese Gleichung für irgendwelche ganzen a und b gilt - und dann wird gezeigt, dass das nicht sein kann, diese Gleichung also nie gelten kann (wenn a und b ganze Zahlen sind).
... und das ist der interessante Teil.
Ich nehme am Anfang Aussage A an und mache dann eine Kette:
Aus A folgt B, aus B folgt C, aus C folgt D.
Wenn ich zeigen kann, dass D nicht gilt, dann kann auch C nicht gelten, denn wenn C gelten würde, dann muss ja D gelten.
Als nicht-Mathematisches Beispiel: Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.
Wenn ich zeigen kann, dass die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht.
Und so ist das hier:
Wurzel 2 rational -> es existiert eine Bruchdarstellung von Wurzel 2-> es existiert eine gekürzte Bruchdarstellung von Wurzel 2 -> die Zahlen in der Bruchdarstellung sind beide gerade, also nicht teilerfremd.
Es kann aber per Definition keine gekürzte Bruchdarstellung mit zwei nicht teilerfremden Zahlen geben -> also gibt es keine gekürzte Bruchdarstellung -> also gibt es keine Bruchdarstellung -> also ist Wurzel zwei nicht rational.