Warum ist die Translationsenergie des "Teilchen in einem Kasten" nicht von der Geschwindigkeit abhängig?
Die Gleichung n^2 * h^2/(8ma^2) beschreibt die zulässigen Energiezustände eines Teilchens in einem eindimensionalen Kasten, wobei n = 1, 2, 3, ... Die Gleichung hängt nicht von der Geschwindigkeit des Teilchens ab, aber warum?
Angenommen, ich werfe das Atom jedes Mal mit einer zufälligen Geschwindigkeit, die zu verschiedenen Translationsenergien führt, decken dann alle möglichen "n's" in der Formel alle möglichen Geschwindigkeiten ab?
In meinem Vorlesungsskript steht folgendes:
Translational Energy Levels
In addition to electronic energy, atoms have translational energy.
To find allowed translational energies we solve Ψ for a particle of mass m in a box of variable side lenghts.
In 1D, motion is along the x demension and the particle is constrained to the interval 0 ≤ x ≤ a.
Allowed energy states are given by:
So the allowed energy states are only dependent on mass m and box length a.
Ich habe mich gefragt, ob die zunehmende Translationsenergie (oder kinetische Energie) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Teilchens, das sich in diesem 1D-Kasten hin und her bewegt (z. B. wenn die Temperatur und damit die Geschwindigkeit erhöht wird), immer genau gleich ist mit einem epsilon_n für die richtige ganze Zahl n ist?
Oder mit einer Analogie: In dieser Box kann ich einen Baseball nur mit diskreten Geschwindigkeiten werfen, und zwar nur mit solchen Geschwindigkeiten, die eine Translationsenergie erzeugen, die gemäß der obigen Formel den ganzen Zahlen n entspricht, und je schwerer mein Baseball ist, und noch wichtiger, je länger das Feld ist, desto kleiner sind die Sprünge zwischen den Zuständen, und der Ball kann immer mehr "kontinuierliche" Geschwindigkeiten annehmen?
Wäre das zum Beispiel richtig?
Angenommen, ich habe ein Wasserstoffatom in der oben beschriebenen Box mit a = 1nm, die kleinstmögliche Geschwindigkeit (n = 1) ist dann:
Die nächstmögliche Geschwindigkeit (n = 2) wäre 39,58 m/s und so weiter...
5 Antworten
Das kannst du nicht mit klassicher Physik behandeln. Wir sind da in der Quantenphysik.
Um es doch noch mit einem klassichen Bild zu versuchen: die Energie dieser "Welle" ist nicht abhängig von der Ausbreitungsgeschwindigkeit (das ist ja die relativistische Lichtgeschwindigkeit). Wohl aber von der Frequenz (und mit klassichem Bild auch von der Amplitude).
Verstehe, nur wie soll ich dann den Begriff "Translation" verstehen, für mich war Translation immer mit einer Bewegung von a nach b verbunden (hier nach den Grenzbedingungen: 0 < x < a).
Die Fragestellung hat sich mir selber ergeben. Ich mache momentan einen coursea Kurs zum Thema statistische Thermodynamik von der Universität Minnesota.
Ich habe gerade meine Frage ergänzt, vielleicht wird es etwas klarer :-)
Es gibt keine kleinen Kügelchen, die herumfliegen Diese Vorstellung ist überholt.
Es gibt Wellenfunktionen, deren Absolutquadrat einer Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte von Teilchen entspricht, und die Eigenvektoren des Hamiltonoperators (im unendlichdimensionalen Hilbertraum, der Funktionen auf Vektoren abbildet) sind, was sie zu stabilen Zuständen macht (mit der Energie als Eigenwert). Anschaulicher wird es leider nicht. Wenn man sich schon etwas vorstellen muss, dann sind stehende Wellen näher an der Wahrheit.
Naja auch diese de broglie Wellen müssen ja irgendeine Ausbreitungsgeschwindigkeit haben. Also decken alle möglichen n's auch alle möglichen Geschwindigkeiten ab?
Genauer gesagt, ist Lichtgeschwindigkeit bei de Broglie nur ein Richtwert. Die Phasengeschwindigkeit kann höher sein, die Gruppengeschwindigkeit geringer.
Ich habe gerade meine Frage ergänzt, vielleicht wird es etwas klarer :-)
Ich bin mir nämlich nicht so sicher, ob sich ein Wasserstoffatom mit Lichtgeschwindigkeit bewegen würde...
wie definierst du geschwindigkeit in diesem fall? diese lösungen entsprechen alle zeitunabhängigen zuständen.
Vielleicht denke ich zu klassisch aber eben wie lange das Teilchen braucht um zum Beispiel die Strecke 0 bis a in dem Kasten zurückzulegen.
Ich bin jetzt Mal davon ausgegangen das Translationsenergie Translation vorraussetzt, also Bewegung.
Ich habe gerade meine Frage ergänzt, vielleicht wird es etwas klarer :-)
Mit der höheren Mathematik der Energiezustände kenne ich mich nicht aus.
Aber ich weiß nicht, wie man bei so einem Versuchsaufbau überhaupt von Translationsenergie sprechen kann, denn diese wäre an eine Richtungsbestimmung gebunden.
Und die Energie an sich ändert sich ja sehr wohl mit der Geschwindigkeit, natürlich gequantelt.
Ich habe gerade meine Frage ergänzt, vielleicht wird es etwas klarer :-)
Also es könnte sein dass diese Gleichung nur für ruhende Teilchen im Kastenpotential gilt. Andererseits sind auch die bewegten Teilchen durch ein "Wellenpaket" beschrieben was sich im Raum fortbewegt. Aber dafür gilt glaube ich eine andere Formel.
Keine Garantie ^^
Ich habe gerade meine Frage ergänzt, vielleicht wird es etwas klarer :-)
Also ich habe hier gerade die slide auf, da steht: