Warum hat mein Dreieck nicht die Innenwinkelsumme 180°?
Hallo liebe Community,
in der analytischen Geometrie habe ich eine Aufgabe, wo ich den Grundflächeninhalt eines Prismas berechnen muss. Alle Seitenlängen sind 5 LE groß.
Ich wollte die Grundfläche in zwei Teile aufteilen: Das Parallelogramm in der Mitte un die beiden gleich großen Dreiecke außen. Dazu habe ich mit dem Cosinussatz die Strecke m (und n) ausgerechnet. Nun wollte ich im Dreieck rechts den Flächeninhalt ausrechnen und da ich einen Winkel und alle drei Seiten habe, wollte ich die Höhe einzeichnen, am besten die Höhe h(c), die auf der Strecke c liegt, da ich ja den Winkel Gamma habe.
Jetzt bin ich etwas verwirrt: Der Winkel Gamma hat bei mir 106,26° sowie der gegenüberliegende Winkel Zeta auch 106,26 ° hat. Die anderen 4 Winkel des Prismas habe ich mit 126,87° berechnet, sodass die Innenwinkelsumme des Prismas (6eck) korrekt 720° beträgt.
Würde ich jetzt die Höhe einzeichnen, dann hätte ich ja mit den 90 ° und den 106° bereits die 180 ° mögliche Innenwinkelsumme überschritten. Wo habe ich den Denkfehler? Beziehen sich die 106° nicht auf das Dreieck oder ist das irgendwie der Gegenwinkel, sodass dieser nur 73,74° wären?
Danke für eure Hilfe!!
4 Antworten
Dein gezeichnetes Dreieck hat an der entsprechenden Stelle keinen Winkel von 106,26°. Wenn du das nochmal richtig zeichnen würdest, würdest du merken, dass die entsprechende Dreieckshöhe außerhalb des Dreiecks verläuft. Der 90° Winkel und der 106,26° Winkel sind nicht Innenwinkel im gleichen Dreieck.
Für die Höhe h_c erhält man ...
Oh ja, Tatsache, nachdem ich es maßstabsgetreu eingezeichnet habe, kann es ja gar nicht sein, dass bei dieser Höhe ein 90° Winkel entsteht - danke!! :-)
Gerade die Zeichnung veranschaulicht hat mir das sehr gut veranschaulicht!
Aber wie bist du auf die Formel b * sin(Gamma) gekommen? Wenn man doch die Höhe auf c einzeichnet, kann ich doch den Winkel 106,26° nicht mehr nehmen?!
Das kann man so machen. Dann hast du die Höhe zur Grundseite m (bzw. zum Punkt C) des Dreiecks berechnet, welche ich eher mit h(m) bzw. h(C) bezeichnen würde, statt mit h(c). Der von dir ermittelte Wert von 3 cm für diese Höhe stimmt auch.
=============
Ich habe hingegen die Höhe zur Grundseite c (bzw. zum Punkt B) des Dreiecks berechnet. Zur Herleitung von dem, was ich gemacht habe, kann man den entsprechenden Nebenwinkel (180° - 106,26° = 73,74°) betrachten.
https://i.imgur.com/ItdQQ7h.png
Dann erhält man sin(180° - 106,26°) = h(c)/b bzw. aufgelöst nach h(c) dann ...
h(c) = b ⋅ sin(180° - 106,26°)
Wegen der Rechenregel sin(180° - φ) = sin(φ) für alle Winkel φ kann man das dann auch als ...
h(c) = b ⋅ sin(106,26°)
... schreiben. Ich habe aber die einzelnen Schritte nicht alle im Kopf durchgeführt, sondern automatisch die Gleichung h(c) = b ⋅ sin(106,26°) im Kopf gehabt, da ich solchen Situationen schon öfter begegnet bin. [Um genau zu sein, hatte ich im Kopf das Dreieck in ein Koordinatensystem mit C im Ursprung gelegt und dann die Ordinate des Punktes B (welche der Höhe h(c) entspricht) aufgrund von Umrechnung von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten ermittelt.]
Man könnte natürlich auch 180° - 106,26° = 73,74° berechnen und ...
h(c) = b ⋅ sin(180° - 106,26°) = b ⋅ sin(73,74°) = 5 cm ⋅ sin(73,74°) ≈ 4,8 cm
... rechnen.
Okay vielen Dank, so "kompliziert" hab ich gar nicht gedacht, aber danke, dass du es extra nochmal erläutert hast! Schönen Tag noch :-)
Dein Denkfehler in der vereinfachten Zeichnung mit dem Fragezeichen besteht darin, den Winkel Gamma kleiner als 90° gezeichnet zu haben. Wenn du dabei auf die richtige Zeichnung des Winkels achtest, solltest du feststellen, dass die Höhe die du zu Punkt B einzeichnen möchtest nicht innerhalb, sondern außerhalb des Dreiecks liegen müsste.
Oh ja, Tatsache, nachdem ich es maßstabsgetreu eingezeichnet habe, kann es ja gar nicht sein, dass bei dieser Höhe ein 90° Winkel entsteht - danke!! :-)
Deine gesuchte Höhe auf c liegt außerhalb des Dreiecks.
Oh ja, Tatsache, nachdem ich es maßstabsgetreu eingezeichnet habe, kann es ja gar nicht sein, dass bei dieser Höhe ein 90° Winkel entsteht - danke!! :-)
Ein ebenes Dreieck hat die Winkelsumme 180°.
Dagegen kannst du dich nicht wehren.
Es gibt aber durchaus verschiedene Winkel, die über denselben Kosinus verfügen.
cos α = cos (360° - α) z.B.
Prüf doch mal die verschiedenen Kosinuswerte durch.
Ich bin ziemlich sicher, dass der Fehler da liegt.
Gerade mit Hilfe der Winkelsumme kannst du ermessen, ob ein Winkel spitz- oder stumpfwinklig sein kann.
Einem TR ist nur bis zum jeweils ersten angezeigten Winkel zu trauen; danach brauchst du die internen Zusammenhänge der Winkelfunktionen. (Am Einheitsdreieck kann du sie dir plausibel machen.)
Wenn du aber einen anderen Winkel weißt, der denselben Kosinus haben muss, wird das vom TR auch angezeigt, - aber gewöhnlich eben nicht vorgeschlagen.
Danke Volens für deine ausführliche Antwort, Gott sei Dank lag einfach nur ein Denkfehler vor :-)
Ich hätte es jetzt so gemacht:
Mithilfe des Sinussatzes hätte ich die fehlenden Winkel ausgerechnet, diese sind jeweils 36,87°. Dann hätte ich die Höhe auf C eingezeichnet, die durch den Winkel Gamma geht und auf m liegt.
Dann hätte ich die Formel aufgestellt: Sin(36,87°) = h(c)/5 und hätte als Höhe 3 cm rausbekommen, beim Nachmessen würden die 3 passen?!