Formel für x erstellen (siehe Skizze)?

Hallo. 🙋🏽‍♀️

Ich soll aus a, c und alpha eine Formel zur Berechnung von x aufstellen.

Selber kam ich auf die Formel

x = (a-c) / sin(alpha)

Aber es sind laut Buch:

Wieso sin (180° - alpha)?

Ich brauche doch nur den kleinen Winkel?

Sind die 180 minus alpha dann nicht 157,5°, was dann kein Winkel von einem rechtwinkeligen dreieck sein kann 🤨.

Ich will aber doch die seite x von einem rechtwinkeligen Dreieck mit dem Winkel Alpha = 22.5°?

Wo ist mein Denkfehler? Bitte um Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

[OmicronCeti42]

Der kleine Winkel, ich nenne ihn mal φ, der für den Sinus herangezogen wird, ist der Winkel, der vom Winkel α zu den 180° fehlt, also gilt:

$\varphi\ +\alpha=\ 180°\ \ \Leftrightarrow\ \ 180°\ -\ \alpha\ =\ \varphi.$

Das, was in der Musterlösung steht, ist also vollkommen richtig, denn der Sinus berechnet sich ja immer über die Gegenkathete (ist hier a - c, wie du selber schreibst) durch die Hypotenuse (ist hier das gesuchte x).

Daraus folgt:

$\sin\left(\varphi\right)=\ \frac{a-c}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ x\ =\frac{a-c}{\sin\left(\varphi\right)}.$

Also das, was auch in der Lösung steht.

Viele Grüße :)

Comments

[OmicronCeti42]

Das zweite, was in der Lösung steht, kommt daher, dass ein Sinus ja einfach nur ein um 90° = π/2 phasenverschobener Cosinus ist (umgekehrt gilt das für den Cosinus natürlich auch).

[Fyuwjsjsn]

Super! Danke.

Answer 2

[gfntom]

Der "kleine" Winkel - wie du es nennst, ist 180 - alpha
(Sieh dir die Skizze an: alpha ist wesentlich größer als 90°!)

Aber:

es ist völlig egal, da sin(x) = sin (180-x) ist

Comments

[Fyuwjsjsn]

Also ist sin(x) immer (dann auch cos(x) und tan(x)) sin(180-x)?

Habe ich das richtig verstanden?

[gfntom]

@Fyuwjsjsn

Nein, nur der Sinus ist symmetrisch zu 180°, wie man an der Funktion leicht erkennt.