Warum gilt das Assoziativgesetz nicht bei Skalarprodukten?
Beispie (die Buchstaben sollen die Vektoren darstellen) :
a(bc) = c(ab)
Wie kann ich hier beweisen, dass das Assoziativgesetz nicht gilt oder an sich die Gleichung nicht stimmt? Hab gedacht, weil man ein Skalar rausbekommt und das mit dem Vektor nicht multiplizieren kann, da man ein Skalarprodukt am ende rausbekommen will.
Stimmt das so oder kann man an der Aussage noch was ändern.
3 Antworten
Hallo,
du schreibst a(bc)=c(ab) das wäre aber das Kommutativgesetz.
Das Assoziativgesetz lautet a(bc)=(ab)c was du vermutlich auch meinst.
Welches Skalarprodukt meinst du denn? Was für Vektoren betrachtest du?
Im allgemeinen kannst du einfach ein Gegenbeispiel angeben. Also nimm dir konkret drei Vektoren. Am besten unterschiedliche, und dann rechnest du es einfach mal aus.
Wenn du die Vektoren schlecht gewählt hast, erhältst du unter umständen doch ein gleiches Ergebnis, wenn du die Vektoren aber willkürlich wählst, dann erhältst du auch ein Gegenbeispiel.
Das soll heißen: Es mag Kombinationen von Vektoren geben, wo Gleichheit eintritt, aber die aller, aller meisten Fälle, werden dir das Gegenteil bestätigen.
Ein Skalarprodukt von drei Vektoren ist nicht definiert.
Bei drei Vektoren hast Du, zusätzlich zur skalaren Multiplikation, immer auch noch die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor. Das Ergebnis ist dann ein Vektor, kein Skalar.
Naja du erklärst nur, dass man 3 Vektoren nicht skalarmultiplizieren kann. Zwei skalarmultiplizieren und dann den dritten Vektor mit dem Skalar ist jedoch möglich. Ich bin mir sicher das weißt du auch. Aber an und für sich wäre es möglich, dass allgemein gilt:
a*(b•c)=(a•b)*c
Z.B. gilt es für a=e1, b=e2, c=e3.
Aber nicht für a=e1, b=(1,-1,0), c=(1,1,0).
Ich will nicht unfreundlich klingen. Meinen ersten Kommentar konnte man in dieser Hinsicht falsch verstehen. Ich will nur deutlich machen, dass man ein Gegenbeispiel braucht, um die Aussage zu widerlegen.
Wenn du das beweisen musst, solltest du einfach an einem Beispiel zeigen, dass das nicht funktioniert.
Und wie genau wird in deiner Antwort gezeigt, dass die Assoziativität nicht gilt?