Unterschied linearer Term, lineare Gleichung und lineare Funktion?
Hallo zusammen,
ich arbeite mich gerade durch den ETH Brückenkurs für Mathematik und habe manchmal Probleme mit den einfachsten Sachen.
Zuerst steht da im Skript etwas über Terme, dann, was genau ein linearer Term ist, also ax+b. Dann kommt lineare Abhängigkeit, also y=ax+b. Erste Frage: Ist das jetzt eine lineare Funktion? Also gleich wie f(x)=ax+b?
Dann kommt das Thema Proportionalität, was ich gut verstanden habe.
Dann kommt das erste Mal ein Beispiel für eine lineare Gleichung und etwas später steht dann: "Wir haben festgehalten, dass eine lineare Gleichung in einer Unbekannten stets in die Form 0=ax+b gebracht werden kann mit irgendwelchen reellen Zahlen a und b." Also Falls ihr das Skript kennt: Wo genau wird das festgehalten? Für mich ist das ein Sprung, den ich nirgendwo definiert sehe und nicht nachvollziehen kann. Warum muss es dann =0 sein? Kann dort nicht eine andere Zahl sein? Und was ist jetzt genau der Unterschied zu y=ax+b?
Ich hoffe, ihr versteht meine Verwirrung und könnt mir helfen. Mit dem Lösen von einfachen linearen Gleichungen und Funktionen habe ich gar kein Problem, nur die Definition und was es bedeutet ist mir nicht ganz klar und das verwirrt mich dann, wenn sowas in einer Aufgabe steht.
Gruss Jananas
2 Antworten
Linearer Term: ist immer ein linearer Term "in einer Variablen" (nicht über das "in" wundern, das sagt man halt so).
Also z. B. ist
3 x - 4
ein linearer Term in x (aber ein konstanter Term in y, weil hier nirgendwo ein y drinsteht)
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Lineare Gleichung (wieder "in einer Variablen"):
linearer_Term_1 = linearer_Term_2
z. B. ist
3 x - 4 = 5 x + 6
eine lineare Gleichung in x
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Lineare Funktion: die Funktionsgleichung ist eine lineare Gleichung in der Funktionsvariablen
Allgemeine Form der Funktionsgleichung (explizite Form - hier steht f(x) für sich auf einer Seite der Gleichung):
f(x) = irgendein_Term_mit_x
(oder auch ein Term ohne x, etwas wie f(x) = 3 ist zulässig, das ist dann eine konstante Funktion)
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y = a x + b
ist zunächst einmal eine lineare Gleichung in y (mit 0 als Konstanter) und eine lineare Gleichung in x.
Eine Kurve bzw. ein Graph (genauer: eine Kurvengleichung bzw. die Gleichung eines Graphen) wird daraus, wenn wir x und y als Koordinaten eines Koordinatensystems auffassen.
Eine Funktionsbeschreibung wird daraus, wenn wir
f(x) = y
als Funktionsgleichung hinzunehmen.
Aber meistens nimmt man es nicht so genau mit der Unterscheidung zwischen
y = Term_in_x
und
f(x) = Term_in_x
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Zur Form
0 = a x + b
Das Skript kenne ich nicht, aber man kann allgemein folgendes tun:
Die allgemeine lineare Gleichung in x hat ja folgende Form:
c x + d = e x + f
Wir können auf beiden Seiten c x + d abziehen und erhalten:
0 = e x + f - (c x + d)
Diesen Ausdruck kann man vereinfachen:
0 = e x + f - c x - d
= e x - c x + f - d
= (e - c) x + (f - d)
Wir haben a und b hier noch nicht verwendet, können also a = e - c und b = f - d wählen. Damit wird aus obiger Gleichung
0 = a x + b
Da dies für beliebige (reelle) Zahlen c, d, e, f gilt und auch a und b nach Konstruktion reelle Zahlen sind, folgt hieraus die Behauptung.
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0 nimmt man, um eine einheitliche Form der Gleichung zu bekommen. Dann braucht man nicht mehr nachzudenken, welche Konstante man auf der einen Seite lässt.
Natürlich könnte man auch gleichbedeutend
b' = a x
(mit b' = -b)
schreiben - das ist zum Ausrechnen von x sogar besser, aber vermutlich geht es hier um die allgemeine Einführung in Gleichungen. Da ist es einheitlicher, wenn man auch z. B. schreibt
0 = a x² + b x + c
bzw.
0 = ax³ + b x² + c x + d
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Der Unterschied zu
y = a x + b
liegt darin, dass dies eine Gleichung in zwei Unbekannten ist, während 0 = a x + b eine Gleichung in einer Unbekannten ist.
In der Form
f(x) = a x + b
und
f(x) = 0
hat man die Nullstellensuche einer Funktion, das ist auch etwas, was man sehr oft machen muss. Auch hier nimmt man wieder die 0 statt einer beliebigen Konstanten als gesuchten Funktionswert, weil man die Gleichungen dann einheitlicher behandeln kann.
Linear und nichtlinear sowie Gleichung und Ungleichung (Oberbegriffe) sind 2 Paar verschiedene Schuhe. Linearität bezieht sich bei gleichungen auf den Exponenten der Unbekannten! Stehen an allen Unbekannten nichts (Exponent 1), dann sind es die linearen Gleichungen/Terme. In allen anderen Fällen sind sie nichtlinear, angefangen mit quadratisch, kubisch, mit ganzen oder gebrochenen Exponenten (Wurzeln) oder unbekanntem Exponent (Exponential - Logarithmus).
Eine Gleichung oder Ungleichung besteht immer aus 2 Termen, das sind die Glieder mit den Rechenzeichen, links und rechts des Gleichheitszeichen. Dann gibt es 2 Gleichungs"arten", die bestimmungsgleichung mit nur 1er Unbekannten und nur über diese können Lösungen gefunden werden. Dann die Funktionsgleichung mit mindestens 2 Unbekannten (Variablen). Diese führt aber nicht zur Lösung, sondern mit ihr wird solange mit Einsetzungs- oder Additions-Verfahren die Variablen verringert, bis nur noch eine Vorliegt und das ist ja dann die Bestimmungsgleichung!