Ist jede direkte Proportionalität auch eine lineare Funktion?
7 Antworten
Eine lineare Funktion in der Schulmathematik ist eine Funktion der Form
f(x) = mx + b (wobei die beiden Werte m ("Steigung") )und b ("Achsenabschnitt") auch anders bezeichnet werden können)
Eine proportionale Funktion oder direkte Proportionalität in der Schulmathematik ist eine Funktion der Form
f(x) = kx (auch hier kann der Wert k ("Proportionalitätsfaktor") anders heißen).
Eine proportionale Funktion mit dem Proportionalitätsfaktor k ist nichts anderes als eine proportionale Funktion mit der Steigung k und dem Achsenabschnitt 0.
Also: Ja, jede direkte Proportionalität ist eine lineare Funktion.
direkt proportional bedeutet um einen konstanten proportionalitätsfaktor, dieser heißt m in
y=mx+n
Immer eine lineare Funktion -----> y =mx+n !
Nein, Proportionalitäten (Veränderungsverhalten) werden jeweils zwischen 2 Größen angegeben!
Eine Funktion, genauer eine Funktionsgleichung, besteht immer zwischen mindestens 3 Größen, wovon mindestens 2 unbekannt sind (Variable), die jedoch in einem funktionalen Zusammenhang stehen!
Theoretisch wird in der Schule zwar die Zuordnung als Funktion gelehrt, damit kann man aber nichts berechnen, sondern erst mit einem Vergleich von Größen, der Gleichung.
Was soll daran falsch sein?
Absolut richtig werden Proportionalitäten nur zwischen 2 Größen festgelegt! Sollte eine 3. oder mehr vorhanden sein, müssten diese konstannt dabei sein! Das ist auch im Diagramm ersichtlich, dass man die 3. (const.) Größe an die Kurve dranschreibt! Und zur Funktion(sgleichung) habe ich mich ja klar ausgedrückt! Die Lehrer verwirren mit der Zuordnung als Funktion, denn wenn Funktionen berechnet werden, sind es immer Gleichungen!
NEIN! Funktionen kann man nicht nur mit einer Gleichung berechnen, das ist ein falscher, oder besser gesagt, viel zu spezieller Begriff von Funktion.
Beispiele:
- Die Aussage: "Ich ordne jedem Menschen seine Körpergröße zu" ist eine Funktion im Sinne des mathematischen Funktionsbegriffs, denn jedem "Wert" (hier besser: jedem Element) aus der Ausgangsmenge (alle Menschen) wird genau ein Wert der Ergebnismenge zugeordnet. Da kann man gar nichts rechnen.
- Die Aussage "Ich ordne der 5 die 7 zu" kann eine vollständige Funktion sein, wenn meine Ausgangsmenge eben nur aus der 5 besteht, da gibt es keine 3. Größe.
- Wenn ich jedem Zeitpunkt (oder auch jedem Kilometerstein) auf einer Autofahrt von Hamburg nach München die aktuelle Geschwindigkeit zuordne, so ist das eine Funktion, und es wird kaum eine sinnvolle Berechnung möglich sein.
- Auch die Erklärung eines Stromtarifes beschreibt im Grunde eine Funktion, denn sie legt eindeutig fest, welchem Stromverbrauch welcher Rechnungsbetrag zugeordnet wird.
- Es gibt zahlreiche andere Möglichkeiten, Funktionen darzustellen, z. B. durch Zuordnungs-Diagramme, Wertetabellen, Graphen u. a. m. - Ganz allgemein kann die Ausgangsmenge jede beliebige Menge sein, also z. B. auch ein zwei- oder mehrdimensionaler Raum, es gibt also durchaus Funktionen in denen mehr als 2 Größen miteinander verknüpft werden, z. B. beschriebe die Funktions-Gleichung d = f(a,b,c) = wurzel(a² + b² + c²) die Länge der Raum-Diagonalen d von Quadern als Funktion von Länge a, Breite b und Höhe c
- Und die Funktionsgleichung w = f(x,y,z) = x * y * z ist sogar eine Proportonalität, denn bei Veränderung einer der Größen x, y, z um eine bestimmten Faktor ändert sich die Größe w um den gleichen Faktor
Alle meine Beispiele sind zwar keine linearen Funktionen, aber lineare Funktionen sind nur ein Spezialfall des allgemeinen Funktionsbegriffs.
Außerdem scheint mir der Begriff "Größe" mehrdeutig verwendet zu sein. Z. B. in einer "klassischen" Proportionalitätsgleichung y = mx würde man x und y als "Größen" bezeichnen, m ist aber kein Größe, sondern eben der Proportionalitätsfaktor ("Steigung", wenn man funktional denkt).
Unter Berücksichtigung dieses allgemeinen Funktionsbegriffs müsste man die Frage so beantworten:
Jede direkte Proportionalität zwischen zwei Mengen (man kann auch sagen zwischen zwei Größen) ist auch eine lineare Funktion. Sie lässt sich durch eine Funktionsgleichung der Form y = f(x) = mx beschreiben.
ja und geht immer durch den Ursprung;
y = m * x
Das ist verwirrend und falsch. Ich würde das ja nicht anmerken, fürchte aber, dass der Fragesteller wirklich völlig durcheinander ist, nachdem er das hier liest.
Eine Funktion muss nicht zwischen 3 Größen bestehen, das ist wirklich falsch. Und auch der Rest wirft einfach viele Begriffe durcheinander.