Taylor-Entwicklung. Wie komme ich bei dieser Aufgabe auf das richtige Ergebnis?

Hallo,

folgende Aufgabe:

Ich soll mit der Funktion (1-x)/(1+x) eine Taylor-Entwicklung 2. Grades(2. Ordnung?) um den Punkt a= -3 durchführen.

Soweit ich verstanden habe, muss ich also zuerst die erste und zweite Ableitung finden.

Meine Ergebnisse dabei sind

f'(x) = -2/((1+x)^2)

f''(x) = 4/((1+x)^3

Im nächsten Schritt habe ich dann in die Grundfunktion und in die beiden Ableitungen den Wert -3 eingesetzt.

Dabei erhalte ich für

f(-3) = -2

f'(-3) = -0,5

f''(-3) = -0,5

Das wiederum setze ich in die allgemeine Formel für die Taylor-Reihe ein

f(x) = (f(-3)/0!)*(x+(-3))^0 + (f'(-3)/1!)*(x+(-3))^1 +(f''(-3)/2!)*(x+(-3))^2

ergibt: f(x) = -2 -0,5*(x+3)- 0,5*(x-3)^2

Nun soll das Ergebnis aber, wie unten im Bild zur Aufgabenstellung zu sehen, -(23/4)-2x-(1/4)x^2 sein. Da ich mit meinen Ergebnissen nicht auf dieses Ergebnis kommen werde, muss irgendwo ein Fehler sein und dabei bräuchte ich bitte Hilfe.

Außerdem habe ich noch eine weiterführende Verständnisfrage: Der Restterm R_n wird hier im Ergebnis weggelassen. Muss ich den nicht eigentlich ausrechnen und dazuhängen?

Vielen Dank

Answer 1

[Maxi170703]

(x+(-3)) ist x-3 und nicht x+3. wenn der Entwicklungspunkt -3 ist muss in der Klammer außerdem x+3 stehen.

Und das 1/2! = 1/2 hast du auch vergessen. Geh die Aufgabe nochmal sorgfältig selber durch.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen

Comments

[Username123321]

Beim x+3 hatte ich mich tatsächlich nur vertippt. Die 1/2! habe ich aber in meiner handschriftlichen Rechnung wirklich vergessen und da lag dann auch der Fehler. Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 2

[evtldocha]

(x+(-3))

Schau Dir mal den Term in der Taylorreihe an. Da steht jeweils:

$\left(x-a\right)^k$

Nun soll a = - 3 der Entwicklungspunkt sein. Dann steht da:

$\left(x-\left(-3\right)\right)^k=\left(x+3\right)^k$

Dein Ausdruck ergibt aber (x+(-3)) = (x-3)

Der Restterm R_n wird hier im Ergebnis weggelassen. Muss ich den nicht eigentlich ausrechnen und dazuhängen?

Wenn in der Aufgabe nicht explizit eine Abschätzung gefordert ist, muss Du den meiner Meinung nach nicht ausrechnen.

Comments

[Username123321]

Bei dem x+3 hatte ich mich hier tatsächlich nur vertippt. Der Fehler war , wie von Maxi170703 geschrieben, dass ich die 2! nicht mit einberechnet habe.

Danke für die Antwort und auch für die Erklärung zum R_n!