Bin ich diese Aufgabe richtig bearbeitet?
Guten Tag;)
Meine Aufgabe lautet:
Sei X eine standard-normalverteilte Zufallsvariable und Y sei normalverteilt mit den Parametern μ ∈ R und σ^2 > 0. Berechnen Sie E[X^n] und anschließend E[Y^n]?
Den Erwartungswert von X^n habe ich bereits berechnet. Jetzt bin ich gerade dabei den Erwartungswert von Y^n. zu berechnen. Ich habe da mal was aus dem Skript mitgebracht:
Die Integralgrenzen sind minus unendlich und unendlich. Ich würde dann mit dem Limes arbeiten. Oder muss ich vorher noch die Existenz beweisen? Ich meine, wenn ich bei meinem Plan (der folgt sofort) ein Ergebnis erhalte, dann habe ich die Existenz bewiesen oder?
Mein Plan lautet:
Erst einmal möchte ich substituieren.
Wenn wir das in unsere Formel einsetzen, dann würde ich gerne zwei Fallunterscheidungen vornehmen:
- Fall: x<=0, n gerade
- Fall: x>0, n ungerade
Soll ich vielleicht andere Fallunterscheidungen machen?
Macht das soweit Sinn?
Bei den Fallunterscheidungen würde ich dann so vorgehen, dass ich die Integrale (in den jeweiligen Fallunterscheidungen) berechne. Weiß jemand die Lösung der Integrale? Ich würde gern vergleichen wenn ich soweit bin, da man sich dort auf jeden Fall gut verrechnen kann. Falls nicht, kann ich bestimmt mit Chat GPT oder Wolfram Alpha vergleichen:)
Noch besser fände ich, wenn mir jemand sagen kann, was es mit der Aufgabe auf sich hat. Beim Erwartungswert von X^n kann ich mit den Ergebnissen aus den Fallunterscheidungen nicht viel anfangen. Besteht der Sinn darin, dass man lernt den Erwartungswert zu berechnen?
Über jede Information zu der Aufgabe wäre ich dankbar. Ich werde dann mal mein Wochenende opfern!
Beste Grüße & ein schönes Wochenende wünsche ich:)
1 Antwort
Es geht hier sicher darum, die Momente von Y auf die von X zurückzuführen.
Du kannst Y = sigma X + mu ansetzen, dann mit dem binomischen Lehrsatz Y^n berechnen, und das Integral in Integrale über die verschiedenen Potenzen von x, also in die Momente von X zerlegen.
