Wie genau löst man diese Aufgabe?

Wir betrachten die Halbkugelfläche F := {(x, y, z) ∈ R³ | x² + y² + z² = 1, z ≥ 0}.

Weiter sei f : R³ → R mit f(x, y, z) := x²y²z.

Berechnen Sie

$\int fdO$ F

Wir müssen eine Fläche berechnen, haben in f(x,y,z) aber x y und z. Hab mit Zylinderkoordinaten gearbeitet und Integralgrenzen von phi und r herausgefunden. Aber f(x,y,z) ist in kartesischen Koordinaten. Ich kann nicht nach phi und r integrieren, wenn die Funktion nur x, y und z hat.

Comments

[ByteBacon]

Was ist denn Phi?

Ich gehe davon aus das du PI meinst. 3.14159

[killer315]

ne den winkel

Answer 1

[ProfFrink]

Nimm Kugelkoordinaten mit folgender Transformationsvorschrift

$x=\cos\left(\phi\right)\cdot\cos\left(\theta\right)$ $y=\sin\left(\phi\right)\cdot\cos\left(\theta\right)$ $z=\sin\left(\theta\right)$ Oberflächeninfinitesimal:

$dO=\sin\left(\theta\right)\cdot d\theta\cdot d\phi$ mit den Grenzen für

$\phi=0\ \ ..\ 2\cdot\pi$

$\theta=0\ ..\ \ \frac{\pi}{2}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[killer315]

Normalerweise lautet die Transformationsvorschrift:

wie kommst du auf diese Transformationsvorschrift? $z=\sin\left(\theta\right)$

[killer315]

x = r⋅sin(θ)⋅cos(φ)

y= r⋅sin(θ)⋅sin(φ)

z= r⋅cos(θ)

Normalerweise lautet die Transformationsvorschrift so oder?

wie kommst du auf deine

[ProfFrink]

@killer315

in diesem Spezialfall gilt r=1

[killer315]

@ProfFrink

Dennoch steht bei x, y und z was anderes und ein anderer Winkel. Kann man das einfach so umformen? und warum geht teta nur bis pi/2 und nicht pi weil es eine Halbkugel ist.

[ProfFrink]

@killer315

weil es eine Halbkugel ist.

Ja, genau. theta=0 ist der Nordpol theta=pi/2 ist der Äquator.

[ProfFrink]

@ProfFrink

und ein anderer Winkel

Stimmt. Da habe ich mir einen Fehler erlaubt. cos(theta) muss gegen sin(theta) und sin(theta) muss gegen cos(theta) ausgetauscht werden. Sorry.

Answer 2

[ChrisGE1267]

Du solltest eine Koordinatentransformation von kartesischen auf Kugelkoordinaten durchführen. Dann wird die Integration sehr einfach: über r brauchst Du nicht mehr zu integrieren, da r = 1 (Halbkugel mit Radius 1), phi geht einmal rum um den Einheitskreis in der x-y-Ebene von 0 bis 2pi, theta läuft von 0 bis pi/2, da Du die obere Halbkugel betrachtest. Bei der Koordinatentransformation nicht die Funktionaldeterminante vergessen!

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 3

[Maxi170703]

Du kannst ja f auch in Zylinder- oder aber, noch besser, in Kugelkoordinaten schreiben. Dabei die Funktionaldeterminante nicht vergessen, egal, ob du nun Zylinder- oder Kugelkoordinaten wählst.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen

Answer 4

[evtldocha]

Hab mit Zylinderkoordinaten gearbeitet

...

wenn die Funktion nur x, y und z hat

... unter der Bedingung "mit Zylinderkoordinaten gearbeitet" hat die Funktion aber kein x und y mehr.