Euler-Mascheroni-Konstante?
Wie berechne ich das Integral? Reihenentwicklung eventuell?
2 Antworten
Ich will einmal die Ähnlichkeit zu einen anderen Integral anmerken:
und wir wissen:
Der unterschied zu unseren Integral ist, dass wir im ln diesmal da lineare Argument x + 1 haben, wo wir haben schon durch lineare Kettenregel bzw. Substitution wissen, dass wir das im ln stehen lassen können ohne das sich was ändert. Wir erhalten also:
Das e vor dem Ei kommt dabei zustande, weil wir auch das x im exp substituieren, dann die 1 aus den Exponenten holen und dann via Faktorregel e^1 davor schreiben. Eine Schritt für Schritt Herleitung findest du hier: https://www.integralrechner.de/#expr=ln%281%2Bx%29exp%28-x%29&simplify=1
Der hat es aber nicht ganz durch vereinfacht.
Untere Grenze einsetzen gibt uns dann also -e Ei(-1). Obere Grenze Einsetzen gibt 0, da e^-unendlich gegen 0 geht und Ei(-unendlich) auch gegen 0 geht: -e Ei(-1) - 0
Lösung:
= -e Ei(-1) = e E_1(1) = G
Dabei ist
Referenzen:
wieso bleibt vor den neuen integral das -, wenn es doch vereinfacht ein plus wird?
Du kannst es auch zu einem + vereinfachen, dann brauchst du zum weiteren Integrieren andere Identitäten. Der Integralrechner wollte halt genau int -e^t / t dt = Ei(t) benutzen und keine andere Regel. Nimmst du das - raus kannst du die vorgegebene Formel halt nicht nutzen.
Du hast natürlich recht, dass das besser geht.
Die Substitution versteh ich auch, aber dir gilt ja nur für x+1, nicht für -x, was wird da gemacht?
Ok. Die Frage muss ich erst einmal interpretieren... Wenn ich dich richtig versteh, willst du wissen, woher in meiner Stammfunktion das "-" in Ei kommt. Ich habe die Ei Funktion genutzt und der Rechner die E_1 Funktion. Das ist nicht das Gleiche! Die Umrechnung von den beiden ineinander steht in unteren Bild und in der ersten Referenz:
E_1( x ) = -Ei( -x )
Nutzen wir das kriegen wir aus dem Ergebnis des Integralrechners :
-e * E_1( x + 1 ) = ? | u := x + 1
-e * E_1( u ) = ? | *(-1)
e * E_1( u ) = -? | E_1(x) = -Ei(-x)
e * ( -Ei( -u ) ) = -?
-e * Ei( -u ) = -? | *(-1)
e * Ei( -u ) = ? | u := x + 1
e * Ei( -( x + 1 ) ) = ?
e * Ei( -x - 1 ) = ?
-e * E_1( x + 1 ) = e * Ei( -x - 1 )
Das hilft auch, aber ich meinte was anderes, noch davor. Wir haben ja dann ein neues integral: -e^-x/x+1. Wir setzen x+1=u und wissen dx=du, sehr schön. Wir setzten also ein: -e^-x/u. Was setze ich oben fürs x ein? u-1? Wenn ich umstellen würde, ich verstehe es nicht
Was setze ich oben fürs x ein? u-1?
Ja. Du kannst das was du subsituierst selbst umstellen, also ist x + 1 = u <=> x = u - 1.
Du hast es also doch verstanden.^^
Ah, also -(u-1)= 1-u. Ah, habe es verstanden, danke :)
Wie ist E_1(x) definiert? Wikipedia sagt was anderes als der Rechner, deswegen
Schau dafür in die erste Referenz (mathworld zum Thema Exponentialintegral) oder ins zweite Bild:
E_1(x) = int_1^unendlich [ exp(-u x) / u ] du = int_x^unendlich [ exp(-u) / u ] du
was der Definition von Wikipedia entspricht.
Nutzen tut er aber eine andere Formel welche wir uns schnell herleiten können:
E_1(x) = int_x^unendlich [ exp(-u) / u ] du | Grenzen tauschen
E_1(x) = -int_unendlich^x [ exp(-u) / u ] du
E_1(x) = int_unendlich^x [ -exp(-u) / u ] du
wie gezeigt kommt wenn wir unendlich ins Integral einsetzen 0 raus, wodurch wir halt die Stammfunktion davon von x - 0 haben, was wiederum nur die Stammfunktion ist:
E_1(x) = int_unendlich^x [ -exp(-u) / u ] du
E_1(x) = [int [ -exp(-u) / u ] du, mit u = x]
E_1(x) = int [ -exp(-x) / x ] dx
PS:
Ich wusste auch nicht, dass die Formel gilt.
Ich musste mir das gerade auch herleiten.
Ist es dann +eE_1(x+1) oder-eE_1(x+1)? Habe halt plus raus, wegen der Wikipedia Definition, der Rechner ja -
Es ist + beim Rechten Integral. Das - was du meinst kommt von der hier angewandten partiellen Integration.
Als Stammfunktion habe ich jetzt: -e^-x*ln(x+1)+eE_1(x+1)+c. Ist falsch, oder?
Ich bin noch neu in dem Gebiet, aber probiere es partiell.
Das geht sogar um die Stammfunktion zu bestimmten (mit bestimmten Funktionen): exp(x) ln(x+1) - exp(-1) Ei(x+1) + C, wobei Ei der die Inetrgalexponentialfunktion ist.
Doch das Integral divergiert, was man leider nicht mit den speziellen Funktion sieht... (zumindest nicht direkt)
ah warte vertippt: die Stammfunktion lautet anders −exp(−x) ln(x+1) −e Ei(x+1)+C
und das konvergiert auch
partielle Integration funktioniert auch hier
Ich werde aus dem Integralrechner nicht schlau. Partielle Integration okay, aber dann kommt die erste Frage, wieso bleibt vor den neuen integral das -, wenn es doch vereinfacht ein plus wird? Die Substitution versteh ich auch, aber dir gilt ja nur für x+1, nicht für -x, was wird da gemacht? Bitte hilfe :)