Sinus?
Hallo,
Heute im Unterricht haben wir Seitenverhältnisse ausgerechnet (Strahlensätze). Danach hat meine Lehrerin einen Übergang auf Sinus gemacht, indem sie einfach die Formel aufgeschrieben hat: sina = Gegenkathete/ Hypotenuse. Ich habe zwar die Formel und habe schon viele Aufgaben durchgerechnet, jedoch habe ich eigentlich gar kein Plan, was Sin wirklich ist. Sinus muss ja irgendwie ein Seitenverhältnis sein und eine Zahl zwischen 0-1 (denke ich, habe ich mir logisch erschlossen, weil größere Seite/ kleinere). Die Frage, die ich mir jetzt eigentlich stelle ist, wie kommt man auf diese Formel, wie wurde sie hergeleitet und was ist eigentlich Sinus? Was passiert wenn man Sinus mit einem Winkel verrechnet logisch? Wenn man den Winkel ändert? Ich würde es einfach gerne logisch verstehen, wie man auf diese Formel gekommen ist.
Ich danke für jede Antwort!
5 Antworten
Stell Dir einen Kreis mit dem Radius 1 vor. In diesem Kreis ist ein Zeiger, wie der von der Uhr, ebenfalls mit der Länge 1. Der Zeiger zeigt senkrecht nach oben.
Von oben wird das Ganze beleuchtet, und der Zeiger wirft einen Schatten, ausser, wenn er genau nach oben oder unten zeigt. Wenn sich der Zeiger jetzt langsam im Uhrzeigersinn dreht, siehst Du den Schatten erst länger werden, dann kürzer, dann nach der anderen Seite länger werden, dann wieder kürzer.
Die Länge des Schattens ist der Sinus des Zeigerwinkels. Das wurde so festgelegt, und ist nützlich bei vielen Berechnungen.
Wenn man den Wert als Funktion des Winkels darstellt, erhält man eine periodische Wellenform, die Sinuskurve. Diese spielt eine Rolle in sehr vielen physikalischen Vorgängen.
Vielen Dank! Gibt es dazu vielleicht ein Video oder eine genauer Erklärung?
gebe mal bei Youtube Sinusfunktion und vielleicht Einheitskreis ein, da wird dir erklärt was du willst. Ich weiß diese MAthelehrer sind schrecklich.
Ich habe zwar die Formel und habe schon viele Aufgaben durchgerechnet, jedoch habe ich eigentlich gar kein Plan, was Sin wirklich ist.
Für Deinen aktuellen Kenntnisstand ist das die Definition vom Sinus:
Der Wert ist eine Zahl, die für einen Winkel "α" bestimmt wird, so wie es da steht. Und diese Verhältniszahl in allen rechtwinkligen Dreiecken mit einem Winkel "α" gleich. Mehr ist das im Moment nicht. Es ist das Verhältnis aus den beiden Seitenlängen.
Gibt es keine Herleitung ...
(Natürlich muss es eine geben).
Nein. Natürlich muss es keine geben, eine Herleitung kann es nicht geben, solange man sich der Sinus-Funktion nicht von einem völlig anderen mathematischen Ansatz her nähert (das ist aber weit weg von Schulmathematik).
Eine Definition hat keine Herleitung und deswegen habe ich schon in meiner Antwort das Wort Definition fett geschrieben. Den Satz des Pythagoras kann man beweisen ("herleiten") und muss man auch beweisen, da es ein mathematischer Satz ist (Satz = bewiesene Behauptung). Eine Definition hat das nicht nötig, weil eine Definition eine "Festlegung" ist. Mann kann sich fragen (und meist er sehr viel später beantworten), ob eine Definition sinnvoll ist oder war. Im Moment muss reichen, dass die Definition vermutlich sinnvoll ist, da aus den Strahlensätzen immer folgt, dass bei einem bestimmten Winkel, bestimmte Seiten immer im gleichen Verhältnis stehen (das wiederum ist bewiesen, da es Strahlensätze sind).
Ach ja - und da bin ich dann bei meinem Lieblingsthema: Auch in der Mathematik gibt es Dinge, die man lernen und immer wissen muss, um sie dann anzuwenden: Und Definitionen gehören unbedingt zu diesem Lernwissen, da man sie eben nicht aus anderem Wissen "herleiten" kann.
Also wir jedem Winekl von 0-90 ein Seitenverhältnis zugeordnet.
Sinus muss ja irgendwie ein Seitenverhältnis sein und eine Zahl zwischen 0-1
Genau.
Die Frage, die ich mir jetzt eigentlich stelle ist, wie kommt man auf diese Formel, wie wurde sie hergeleitet und was ist eigentlich Sinus?
Mit genau dieser Formel wurde der Sinus definiert, also festgelegt. Er ist (im Intervall von 0° bis 90°) definiert als das Seitenverhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem gegebenen Winkel. (Man kann die Definition dann noch auf größere Intervalle erweitern.)
Früher hat man seine Werte für alle Winkel von 0° bis 90° in Tabellenbüchern aufgelistet, um diese nachschlagen zu können.
Heute nimmt man dafür den Taschenrechner, der macht aber im Prinzip auch nichts anderes, als in einer Tabelle nachzusehen.
Das einzige was Du Dir wirklich merken musst und am Besten bei jeder Matheklausur aufs Blatt schreibst ist:
sin cos tan cot
GAGA
HHAG
-> gesprochen: GAGA Hummel Hummel AG
Die erste Spalte ist die Formel für den Sin α= G/H
Die zweite Spalte für cos α =A/H usw. ;)
Verstanden, aber wie kommt man auf diese Formel, dem Seitenverhältnis wird ja quasi ein Winkel zugeordnet. Gibt es keine Herleitung, wie zum Biepsiel beim Pythagoras ? (Natürlich muss es eine geben).