Gibt es einen Winkel α mit tan(α) > 1?
Wie geht man bei solchen Aufgaben vor. Ich habe noch so eine ähnliche):
Gibt es einen Winkel β mit tan(β) = 1000000?
Für die erste Aufgabe mit dem Winkel alpha ist mir bewusst, dass der Sinus einen größeren Wert als 1 annehmen kann, solange die Gegenkathete größer ist als die Ankathete. Aber wie formuliert man so etwas Mathematisch?
3 Antworten
Hallo,
klar.
Der Tangens von 45° ist 1. Von da an bis 90° geht er gegen unendlich.
Der Tangens von 89° etwa ist 57,29 (gerundet).
Du kannst auch einfach den Arkustangens von irgendeinem Winkel, der größer als 45° und kleiner als 90° eingeben, dann bekommst Du lauter Werte heraus, die größer als 1 sind.
Herzliche Grüße,
Willy
Da
muss der Winkel nur nahe genug bei π/2 sein (Siehe auch alle Polstellen der tan() Funktion)
Für die erste Aufgabe mit dem Winkel alpha ist mir bewusst, dass der Sinus einen größeren Wert als 1 annehmen kann, solange die Gegenkathete größer ist als die Ankathete.
Nein - das kann der Sinus nicht. Der Wertebereich der Sinusfunktion ist [-1;1].
Gibt es einen Winkel α mit tan(α) > 1?
Nein, es gibt keinen Winkel α mit tan(α) > 1. Der Tangens eines Winkels ist definiert als der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Gegenkathete und die Ankathete können jedoch nicht länger sein als die Hypotenuse des Dreiecks, sodass der Quotient, also der Tangens, immer kleiner oder gleich 1 sein muss.
Um zu verstehen, warum der Tangens eines Winkels immer kleiner oder gleich 1 sein muss, betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hypotenuse AC und Katheten AB und BC. Wir setzen die Länge der Hypotenuse AC auf 1 und berechnen die Längen der Katheten AB und BC mithilfe des Satzes von Pythagoras.
Da wir wissen, dass der Tangens eines Winkels der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete ist, berechnen wir zunächst den Tangens für den Winkel A (also tan(A)):
tan(A) = AB / AC = √(1 - BC²) / 1
Da BC < 1 ist, gilt für √(1 - BC²) < 1. Daraus folgt, dass tan(A) < 1 sein muss.
Analog können wir zeigen, dass auch tan(B) < 1 sein muss. Da jeder Winkel im Dreieck ABC entweder A oder B ist, gilt für jeden Winkel α, dass tan(α) < 1 sein muss. Es gibt also keinen Winkel α mit tan(α) > 1.
Gibt es einen Winkel β mit tan(β) = 1000000?
Nein, es gibt keinen Winkel β mit tan(β) = 1000000. Wie oben erklärt, ist der Tangens eines Winkels immer kleiner oder gleich 1, da er der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist und die Gegenkathete und die Ankathete nicht länger sein können als die Hypotenuse des Dreiecks. Ein Wert größer als 1 ist daher nicht möglich.
Um dies noch einmal zu verdeutlichen, betrachten wir wieder ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hypotenuse AC und Katheten AB und BC. Wir setzen die Länge der Hypotenuse AC auf 1 und berechnen die Längen der Katheten AB und BC mithilfe des Satzes von Pythagoras.
Da wir wissen, dass der Tangens eines Winkels der Quotient aus der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete ist, berechnen wir zunächst den Tangens für den Winkel A (also tan(A)):
tan(A) = AB / AC = √(1 - BC²) / 1
Da BC < 1 ist, gilt für √(1 - BC²) < 1. Daraus folgt, dass tan(A) < 1 sein muss.
Analog können wir zeigen, dass auch tan(B) < 1 sein muss. Da jeder Winkel im Dreieck ABC entweder A oder B ist, gilt für jeden Winkel β, dass tan(β) < 1 sein muss. Es gibt also keinen Winkel β mit tan(β) = 1000000.
Was für ein Unsinn. Nicht der Kommentar von Jangler, sondern die Antwort. Von vorn bis hinten falsch.
Selten so viel Unsinn gelesen.
Gib mal tan(89,9999427°) ein und staune über das Ergebnis
