Sind "Die Leiden des jungen Werther" ein Drama oder etwas anderes?

nein; ein "Drama" ist im eigentlichen Sinn eine für eine theatralische Auffühung erarbeitete Dichtung, in der ein Handlungs- oder Tatgeschehen in der Regel in Dialogform zwischen den einzelnen je eine Rolle spielenden Darstellern auf der Bühne eines Theaters abläuft. In einem weiteren Sinne spricht man aber auch in der Allgemein- und Umgangssprache dann von einem "Drama", wenn von einem traurigen oder sonstwie negativ eingeschätzten Vorgang die Rede ist (z.B. "Dass A. seine schwangere Frau einfach verlassen hat, ist ein DRAMA für die ganze Familie")

Da "Werthers Leiden" ein in Briefform geschriebener einseitiger Bericht über das Geschick Werthers ist, ist es im weiteren Sinne als "Roman" einzuordnen, also ein Bericht oder eine Darstellung des Verfassers über einen eigenen oder einen dichterisch erfundenen Geschehensablauf.

Nein, es handelt sich um kein Drama, sondern um einen Roman.