Radioaktiver Zerfall Exponentialfunktion?
Hey ich hänge an folgendem Bsp:
Das Element Radon zerfällt mit einer Halbwertszeit von 3.8 Tagen. Nach welcher Zeit ist noch 1/8 der Ausgangsmenge Radon vorhanden ? Nach welcher Zeit sind es noch 10% der Ausgangsmenge?
Hoffe mir kann jemand helfen, LG
5 Antworten
Am schnellsten geht es, wenn man die End- und Anfangsmenge iin ausgerechneter Form in die Formel einstellt.
y = c a^n
https://dieter-online.de.tl/Wachstumsfaktor.htm
Dann ergibt: 50 = 100 * a^3,8
den Wachstumsfaktor a zur Weiterverwendung.
Jetzt Zeit für 1/8:
12,5 = 100 * a^n
Für 10 %:
10 = 100 * a^n
n jeweils durch Logarithmieren errechnen.
Die Werte sind gegriffen; es geht auch mit anderen, die passen.
Kannst du logarithmieren?
Die 1/8 rechnest du jetzt einfach mit
und löst das nach t auf.
Hey danke für deine Antwort. Geht das auch mit N(t) = N0 * a^t zu lösen ?
Also ich muss mir zuerst dein "k" ausrechnen also Zerfallskonstante? Geht das auch direkt nach N(t) = N0 * a^t ohne die Konstante ?
Ja, du musst rechnen:
0,5=a^(3,8) und nach a auflösen. Die Zerfallskonstante musst du aber berechnen, du hast ja nur die Halbwertzeit gegeben.
siehe Mathe-Formelbuch,Exponentialfunktion f(x)=a^x
kommt in der Form vor N(t)=No*a^x
oder mit der Basis e beim radioaktiven Zerfall N(t)=No*e^(-b*t)
a>0 exponentielle Zunahme
0<a<1 exponentielle Abnahme
No=Anfangswert bei t=0 also N(0)=No*a^0=No*1
Halbwertszeit T=3,8 Tage ergibt N(T)=No/2
No/2=No*a^T
1/2=a^T
a=T.te Wurzel(1/2)=3,8.te Wurzel(0,5)=0,833..
Formel N(t)=No*0,833^t
N(t)=1/8*No
No/8=No*0,833^t
1/8=0,833^t logarithmiert
ln(1/8)=ln(0,833^t)=t*ln(...) siehe Mathe-Formelbuch Logarithmengesetz
log(a^x)=x*log(a)
t=ln(1/8)/ln(0,833)=11,38..Tage
mit 10 % ergibt No/100%*10%=No*0,1 also N(t)=No*0,1
No*0,1=No*0,833^t
0,1=0,833^t
t=ln(0,1)/ln(0,833)=12,6 Tage
Hinweis:Man kann auch den Logarithmus mit der Basis 10 verwenden.
t=log(0,1)/log(0,833)=12,6 Tage
selbe Rechnung mit N(t)=No*e^(-b*t)
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet f(t)=a * q^(kt) mit a als Startwert (wäre hier 100%, also 1), q als Wachstumsfaktor (hier 0,5), der Zeit t und dem Faktor k, der noch passend zur Halbwertszeit gewählt werden muss. (komme gerade nicht drauf wie man den allgemein "fachmännisch" nennt).
Bei t=3,8 ist nur noch die Hälfte vom Element vorhanden, d. h. 0,5^1 vom Ausgangswert, d. h. Du musst k=1/3,8 wählen, also hast Du als Funktion:
f(t)=0,5^(t/3,8)
Jetzt ist einmal nach f(t)=1/8 und einmal nach f(t)=0,1 gefragt:
1/8=0,5^(t/3,8) |ln
ln(1/8)=t/3,8 * ln(0,5) |:ln(0,5) |* 3,8
t=3,8 * ln(1/8)/ln(0,5) = 11,4
mit f(t)=0,1 entsprechend...
jo, müsste so gehen
Aber ja, dann ist a=e^-(0,1824)=0,83327, also 1/8=0,83327^t nach t auflösen.