Frage von SJ157O, 80

pq-Formel bei Funktionsscharen - wie geht das?

Hallo, ich lerne gerade für mein Matheabi und unter anderem kommt eine Kurvendiskussion mit Funktionsscharen dran. Nun habe ich die Funktionsschar fk(x) = 3x^2 - 12kx + 9k^2 Von dieser Schar brauche ich nun die Nullstellen. Mein Ansatz war:

3x^2 - 12kx + 9k^2 = 0 | :3

x^2 - 4kx +3k^2 = 0

Jetzt wollte ich die p-q-Formel anwenden, komme aber nicht weiter. Ist das so richtig?

x1/2 = 4/2k + - Wurzel aus (4/2k)^2 - 3k^2

Wenn das richtig sein sollte (wovon ich nicht ausgehe), wie rechne ich dann weiter?

Ich hoffe es war alles Verständlich :D

Grüße

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

Ja, das geht, weil man den Parameter k einer Funktionsschar wie eine Zahl behandeln kann.

3x² - 12kx + 9k² = 0     | :3

x²   - 4kx   +3k²  = 0
                                             Dann ist p = -4k   und   q = 3k²
x₁‚₂ = 2k ±√(4k²-3k²)
x₁‚₂ = 2k ± k

IL = { k; 3k }

Für irgendeine Funktion der Schar kannst du jetzt eine Voraussage für die beiden Nullstellen treffen, ohne jedes Mal die p,q-Formel anwenden zu müssen. Und das ist der Witz bei der Sache. Diese NS sind vom Parameter abhängig.
Das muss nicht immer so sein. Manchmal gibt es auch gemeinsame NS für alle Kurven der Schar oder sonst irgendetwas Regelmäßiges.

In einem solchen Fall kann man dann auch für Untermengen  der Schar Gemeinsamkeiten angeben, die sich bei Auswertung des Parameters ergeben, etwa bei Extremwerten oder Wendepunkten.

Kurvenscharen sind die Geheimwaffe der Mathe-Lehrer gegen gewisse Taschenrechner, die schon komplette Funktionsdiskussionen können, bei den Scharen aber noch schweigen.
:-)

Kommentar von SJ157O ,

Ja, so langsam Verstehe ich es. Hätte aber noch zwei Fragen und zwar: wie kommst du unter der Wurzel auf 4k²? Und wie löst man die Wurzel auf?

Kommentar von SJ157O ,

Habe es jetzt selbst herausgefunden :)

Kommentar von Volens ,

Ich habe -p/2 vor der Wurzel gleich ausgerechnet: 2k
In der Wurzel steht als erstes (p/2)². Das ist der Term vor der Wurzel quadriert: (2k)² = 4k²
Ich werde nie begreifen, warum die meisten da erst mit 4k/2 oder so herumwuseln, statt es gleich auszurechnen.

Unter der Wurzel steht dann 4k² - 3k2, Letzteres ist ja -q.
Wenn ich das subtrahiere, steht da k².
Und daraus die Wurzel ist: k

Kommentar von SJ157O ,

Mein Denkfehler lag echt einfach nur darin das 4k/2 in der Wurzel nicht gleich auszurechnen. Das hat mich total verwirrt, dabei ist das echt simpel. Habe auch an einer anderen Funktion gerechnet und diesmal vorher ausgerechnet und siehe da, ich hatte keine Probleme :D 

Trotzdem noch mal Danke!!!  

Kommentar von Volens ,

Da nich' für, sagt der Hamburger.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

fk(x) = 3x^2 - 12kx + 9k^2

3 * x ^ 2 - 12 * k * x + 9 * k ^ 2 = 0 | : 3

x ^ 2 - 4 * k + 3 * k ^ 2 = 0


x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = - 4 * k

p / 2 = - 2 * k

(p / 2) ^ 2 = 4 * k ^ 2

q = 3 * k ^ 2

x _ 1, 2 = - (-2 * k) - / + √(4 * k ^ 2 - 3 * k ^2)

x _ 1, 2 = 2 * k - / + √(k ^ 2)

x _ 1, 2 = 2 * k - / + k

x _ 1 = k

x _ 2 = 3 * k

Antwort
von laurer1234, 45

Den Term möglichst weit vereinfachen, und zaack hast du doch deine perfekten Nullstellen, also hast du da ja eigentlich auch schon.. kannst ja die 4/2k minus die 3k rechnen, dann hast du ja -k hoch 2. das hoch 2 kürzt sich mit der wurzel weg, sodass deine nullstelle -k sein müsste...

Kommentar von YStoll ,

Achtung, um das 4/2k steht ein Quadrat! -k ist hier keine Nullstelle.

Kommentar von laurer1234 ,

Ja um das 3k ja auch, weswegen man doch einfach subtrahieren kann und auf -k hoch 2 kommt..? Falls ich mich doch geirrt hab, tut es mir sehr leid

Kommentar von YStoll ,

bei 3k² wird jedoch nur das k quadriert, nicht die 3.
Und selbst wenn dem so wäre könnte man nicht einfach (2k)² - (3k)² = (2k - 3k)² rechnen.

Kommentar von laurer1234 ,

Stimmt, da war ich wohl etwas voreilig...

Antwort
von YStoll, 40

Doch, das ist bis dahin richtig. Was sind denn 4/2?
Und was sind dann (4/2 * k)² und was sind (4/2 * k)² - 3k²?

Dann lässt ich die Wurzel sehr leicht ziehen.

Kommentar von SJ157O ,

Das / soll einen Bruchstrich symbolisieren. Also steht 4 über dem Bruchstrich und 2k unter dem Bruchstrich. Oder meintest du etwas anderes?

Kommentar von YStoll ,

Dann soltest du dir die pq-Formel nochmal anschauen.

Deine Gleichung für x 1;2 wäre richtig wenn jedesmal das k multiplikativ hinter dem Bruch stünde.

Antwort
von Wechselfreund, 12

(hab x1/2 nicht nachgerechnet, aber falls es stimmt)

Aus dem Wurzelterm kannst du 4k^2-3k^2 = 1k² mache

x1/2 = 2k + - k  x1 = k  x2 = 3k

Kommentar von Wechselfreund ,

Hätte erst alle Antworten lesen sollen, ehe ich hier nochmal das gleiche schreibe...

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