Kurvendiskussion mit Funktionsschar?
Hallo.
Weiß einer von euch, wie man in einer Kurvendiskussion fa (x)= x²-2ax+1 bei einer Kurvendiskussion verfährt? Ich verstehe z.B. nicht, wie ich mit Buchstaben in der PQ- Formel rechnen soll. Ich möchte nicht die Aufgabe vorgerechnet haben, sondern lediglich wissen, wie ich mit solchen Buchstaben rechne.
4 Antworten
das a behandelt man wie eine Zahl , die man aber nicht mit anderen Zahlen zusammenfassen kann.
Beispiel:
die Ableitung von f(x) = ax³ + 2ax² + 8a ist 3ax² + 6ax
und hier x²-2ax+1 wäre bei der PQ-Formel p = -2a............... -p/2 also a
Danke, aber ich muss unbedingt wissen, wie ich z.B. erstens -2a:2² zuverlässig ausrechne oder dann die Wurzel daraus und aus -1 berechne.
Nun, du mußt dir als erstes die pq-Formel her nehmen um mögliche Nullstellen zu berechnen. Setze in der Formel einfach für p 2a ein. Dann erhälst du Nullstellen, die natürlich von a abhängig sind. Überlege dir zunächst, für welche a die Nullstellen überhaupt definiert sind, d.h. für welche a die Diskriminante => 0 ist.
Hinweis: Wenn du a^2 => 1 heraus bekommst bist du auf dem richtigen Weg :-).
Nun mußt du noch den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von a berechnen und du bist im wesentlichen fertig. Schau mal wie weit du kommst und wir machen dann ggf. weiter.
Also, dein Ergebnis ist schon mal richtig. Wie gesagt, nun mußt du zwei Fälle unterscheiden. Was passiert mit der Wurzel, wenn a^2 < 1 (oder äquivalent |a|<1)? Was im gegenteiligen Fall? Einmal hat die Parabel keine Nullstelle, einmal zwei und wenn a^2=1 dann hat sie wie viele? Und was bedeutet eigentlich a^2 = 1?
Heißt das jetzt, ich setze für a eine Zahl ein, die kleiner als 1 ist und im Gegenteiligen Fall eine, die größer als 1 ist? Und setze ich für den Y- Wert nachher die ermittelten Werte für die Nullstellen oder die Extremstellen ein? Und mache ich das mit dem kleiner als 1 und das Gegenteil nachher auch bei den Extremstellen?
Außerdem habe ich doch bei mit PQ- Formel ermittelten Nullstellen immer 2 Nullstellen, oder nicht? Was soll ich mit den ermittelten Werten nun machen ( Hab einmal eine Zahl für a eingesetzt, die größer als 1 ist und dann eine, die größer als 1 ist? Ob a größer/ kleiner ist als 1, ist da die 1 auschlaggebend, weil sie das q ist?
Fast. Du kannst mal konkrete Zahlen einsetzen um einen Überblick darüber zu bekommen was passiert. Besser ist aber du stellst dir im Kopf vor, was es bedeutet für a Zahlen mit der geforderten Eigenschaft einzusetzen.
Der erste Satz deines zweiten Kommentars ist im reellen falsch. Wenn nämlich die Diskriminante (also der Wert unter der Wurzel) < 0 ist, dann gibt es keine reellen Nullstellen. Und ja, das q ist ausschlaggebend für die erforderliche Fallunterscheidung.
Nachdem ich für a -1 eingesetzt habe, bekam ich 2- Mal die gleiche Nullstelle. Warum?
Edit* Hab deine Antwort grade erst gesehen, sorry für den letzten Kommentar.
Wenn ich mir das jetzt vorstelle ( Ich kann mir die Ergebnisse nicht so gut vorstellen, ich weiß nur, dass es bei einem Wert, der größer als 1 ist, 2 Nullstellen geben sollte, aber bei a=1 habe ich nicht wirklich Ideen. Außerdem, was soll ich danach noch mit den Nullstellen machen?
Muss ich nachher genauso verfahren, wenn ich Extrema berechne und den Y- Wert ausrechne?
Für die Kurvendiskussion einer Parabel mußt du drei Dinge angeben: Nullstellen, y-Achsendurchgang und Scheitelpunkt. Bei a=1 (oder -1) hast du eine doppelte Nullstelle, nämlich jeweils a. Die ist dann übrigens gleichzeitig der Scheitelpunkt. Nur ein Hinweis, auch bei a kleiner als -1 hast du zwei Nullstellen. Genau das bedeutet a^2 > 1 oder eben |a| > 1.
Und auf deine letzte Frage: ja!
Dies verwirrt mich leicht.
- Habe ich nur bei -1 eine doppelte Nullstelle, nicht jedoch bei 1.
- Ich dachte, dabei müssen wir Extrema und dann Y- Achsenabschnitt berechnen, aber Scheitelpunkt? Steht auch nicht bei mir im Buch.
- verstehe ich nicht. Wenn du 1 oder -1 einsetzt erhälst du doch auch 1 oder -1 als jeweils doppelte Nullstelle.
- Das Extremum ist genau der Scheitelpunkt. Schau dir doch die Parabel noch mal an :-).
Setze ich nachher in den Y- Achsenabschnitt meinen Extrempunkt ein?
Nein, der y-Achsenabschnitt ist der Durchgang durch die y-Achse, d.h. der Wert den du erhälst wenn du x = 0 setzt. Der ist in diesem Fall unabhängig von a.
Setze ich bei den Extrema x nicht =0? Da hatte ich bei mir x=a raus. Andernfalls, womit soll ich nun rechnen?
Im Moment verlierst du glaube ich ein wenig den Faden. Was erhälst du wenn du in der Originalfunktion x = 0 setzt? x = a ist sowieso falsch, denn du hast ja gerade x = 0 gesetzt! Damit bekommst du den y-Achsenabschnitt, also den Punkt an dem die Kurve die y-Achse schneidet.
Für das Extremum kannst du entweder den Scheitelpunkt ausrechnen oder die Ableitung gleich 0 setzen.
Ok, bei x=a habe ich eigentlich die 1. Ableitung gleich Null gesetzt. Und für den Y- Achsenabschnitt muss ich dann die Originalfunktion gleich null setzen?
Sorry, jetzt bin ich extrem verwirrt. Um den Y- Achsenabschnitt zu erhalten, setze ich nun also die Originalfunktion gleich null. Aber wie geht das bei x²-2ax+1 Ich weiß, ich muss die 1 rüberziehen, aber der Rest ist verwirrend. Wie setze ich -1= x²- 2ax gleich null und löse so nach x auf? Sorry, wir haben das Thema nur sehr spärlich in der Schule besprochen und ich bin kein guter Matheschüler.
Sorry, jetzt bin ich extrem verwirrt. Um den Y- Achsenabschnitt zu erhalten, setze ich nun also die Originalfunktion gleich null.
NEIN! Du setzt x = 0 in die Orginalfunktion f(x) = x^2 - 2ax + 1 ein und erhälst 1! Sorry...
Danke, aber warum nehme ich x=0? Ist das, weil ich nach wie vor nicht weiß, was a ist?
na geht doch. Ich hoffe du hast aus der Diskussion etwas mit genommen :-).
Hallo,
Du rechnest nach den gleichen Rechenregeln wie bei Zahlen.
p=-2a und q=1. -p/2 ist daher a.
x1;2 daher a±Wurzel (a²-1).
Herzliche Grüße,
Willy
naja, du machst das genauso wie mit Zahlen
-p/2 = +a
und unter der Wurzel hast du
a² - 1
Soweit bin ich gekommen, aber das Problem ist ja, dass ich damit nicht weiterrechnen kann.
Genau diese Nullstellen sind die Stelle, mit der ich kaum weiterkomme. Ich habe weitergerechnet und jetzt x1/2= a+_ ( Wurzel aus a ( Bereits quadriert)-1). Aber wie soll ich das unter dem Wurzelzeichen rechnen? Buchstabe bleibt Buchstabe, ob ich ihn als Zahl behandele oder nicht.