Frage von FranklJulian, 54

Monotonie, Stetigkeit, Invertierbarkeit?

Hallo

Ich glaube ich habe einen Denkfehler in meiner Mathe Aufgabe da ich jedes mal zu einer anderen Erkenntnis komme:

Stimmen folgende Aussagen? Geben Sie jeweils ein (Gegen-)Beispiel an.

a) Jede monotone Funktion f auf R ist stetig. b) Jede stetige Funktion auf {-1,1} nimmt ihr Maximum an. c) Jede streng monoton wachsende stetige Funktion auf {-1,1} ist invertierbar d) Jede streng monoton wachsende stetige Funktion auf {-1,1} nimmt ihr Maximum an.

Meine Ideen:

a) f(x) = 1/x ist z.B. stetig auf D -> R / {0} b) f(x) = x nimmt auf dem Intervall ihr Maximum an da sie werder steigt noch fällt c) f(x) = x^n ist zwischen {-1,1} invertierbar wegen dem Zwischenwertsatz d) f(x) = 2x nimmt auf {-1,1} ihr Maximum an

Stimmen meine Überlegungen und wenn nicht sagt mir bitte warum nicht und welche stimmen würde!

Danke

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von eterneladam, 24

Wie schon bemerkt (und präzisiert) wurde, handelt es sich um abgeschlossene Intervalle [...], was sehr wichtig ist.

a) ist falsch, man kann eine monotone Funktion mit einer Sprungstelle bauen, z.B. f(x) = 0 für x<=0 und f(x)=1 für x>0

b) ist richtig, trotz anderer geäusserter Meinungen. Das genannte Beispiel f(x)=x² hat auf dem Intervall das Maximum 1, und es wird sogar zweimal angenommen, in x=-1 und in x=1. Der Witz ist, das das stetige Bild eines abgeschlossenen Intervalls wieder ein abgeschlossenes Intervall ist. Dieses hat ein Maximum, den rechten Endpunkt.

c) ist richtig, dein Beispiel f(x)=x^n ist aber auf dem Intervall [-1,1] nicht monoton! Besser wäre f(x)=(x+1)^n. Die Invertierbarkeit kommt dann daher, dass jeder Punkt des Intervalls genau einen Bildpunkt hat.

d) ist nur ein Spezialfall von b)

Antwort
von Roderic, 29

Schreib mal bitte die Intervalle richtig auf. Entweder (..) oder [...].

Aber nicht {...}. Das wäre eine Menge.

Ich frag nicht ohne Grund. Obs offene oder abgeschlossene Intervalle sind, spielt nämlich eine nicht unwesentliche Rolle.

Kommentar von FranklJulian ,

Es sind [...] 

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 32

Also ich würde als erstes immer schreiben "stimmt" oder "stimmt nicht". Dann erst gibst du ein Beispiel.

So ungefähr:

a) Stimmt nicht

f(x) = x-1 für x<0, x+1 sonst

b) Stimmt nicht

f(x) = x² ist in x ∈ {-1,1} stetig, hat aber kein Maximum.

f(x) = x nimmt auf dem Intervall ihr Maximum an da sie werder steigt noch fällt

Das ist übrigens falsch. Die Funktion steigt. Lass dir am besten deine Beispiele mit WolframAlpha oder einem anderen Tool plotten.

Kommentar von FranklJulian ,

Vielen Danke!

Und wie sind meine Antworten für c) und d)?

Kommentar von Wechselfreund ,

f(x) = x² ist in x ∈ {-1,1} stetig, hat aber kein Maximum.
Bezieht sich das mit dem Maximum evtl. auf das Intervall?

Kommentar von Suboptimierer ,

Ist die Frage. Ich befürchte, die Frage ist so zu verstehen, dass die Funktion nur auf [-1;1] definiert ist f : [-1;1] → IR

Dann gibt es natürlich immer (mindestens) ein Maximum und ein Minimum. Die Invertierbarkeit ist bei strenger Monotonie + Stetigkeit gegeben. Ohne Stetigkeit ergeben sich Definitionslücken in der Umkehrfunktion, die ausgeschlossen werden müssten.

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