Frage von Ella0409, 22

Matheaufgabe,Monopolist, Rechnung?

Die Aufgabe lautet: Für ein Unternehmen, das in einem regional begrenzten Gebiet Angebotsmonopolist ist, gilt die Erlösfunktion E mit E(x)=-x^2+20x. Die Kosten des Unternehmens ergeben sich aus K: K(x)=4x+10. Zeichnen Sie die Graphen der Erlös- und Kostenfunktion in ein Koordinatensystem. Führen Sie die dazu notwendigen Berechnung durch. Was für Berechnungen sind hier gemeint und wie berechne ich sie?

Antwort
von BeratorKator, 9

Bin kein Wirtschaftsmensch, aber ich nehme mal an, dass hier schlicht Gewinn = Erlöse - Kosten gilt. Wenn das stimmt, kannst du die eine Funktion von der anderen abziehen und erhältst die Funktion des Gewinns in Abhängigkeit von der Stückzahl. Ich nenn sie mal G(x) = -x^2 + 16x - 10. Verwirrend an der Sache wäre dann aber, dass die Erlöse mit höherer Stückzahl sinken, während die Kosten linear steigen. Da werde ich auch nicht schlau draus. Abschreibfehler?

Kommentar von BeratorKator ,

Okay, hab meinen Fehler gefunden. Es geht hier darum, die Verkaufsmenge herauszubekommen, wo die Differenzformel ihr Maximum erreicht. Steigt die Stückzahl weiter, sättigt sich der Markt, und die Erlöse sinken.

Du musst also vermutlich die Position des lokalen Maximum der quadratischen Funktion ausrechnen, also leite die Funktion nach x ab und berechne die Nullstellen der Ableitung. Hilfreich sind auch die Nullstellen der Funktion selbst, besonders für die Zeichnung.

Kommentar von BeratorKator ,

Überschaubarer wird es vielleicht auch, wenn du via quadratische
Ergänzung (forme die Funktion um nach dem Schema f(x)=(x+a)^2+b) ausrechnest, wo der Scheitelpunkt der Funktion liegt, damit kannst du dir die Ableitung sparen.

Kommentar von Dada502 ,

Zu deiner Verwirrung: Die Erlösfunktion gibt die gesamten Erlöse an, die sich aus Preis mal Stückzahl berechnen. Wenn der Monopolist mehr verkaufen will, muss er die Preise senken. Ab einer bestimmten Stückzahl (x-Wert im Umsatzmaximum) ist dann der gesamte Erlös rückläufig, weil er ja die niedrigeren Preise von allen Kunden verlangt.

Kommentar von BeratorKator ,

Danke! Ich ging davon aus, dass der Preis zwar konstant sei, aber der Umsatz bei sinkender Nachfrage einfach zurückgeht bzw. ausbleibt, was dann effektiv auf das gleiche hinausläuft (Umsatz = Preis * Stückzahl), und womit die Zahlen immer noch stimmen müssten, denn es betrifft ja nicht den Bertrag, sondern nur den Ursprung der Erlöse. Aber es ist dennoch gut zu wissen!

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