Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion?
Hallo, ich schreibe nach den Ferien eine Matheklausur über quadratische Funktionen. Nun habe ich mich gerade hingesetzt und möchte mit der folgenden Aufgabe üben. Unser Lehrer meint solche Aufgaben (wie die unten folgende) werden zu 80% dran kommen. Mein Problem: ich verstehe nichts. Ich komme alleine nicht auf die Lösungsansätze. Wenn ihr mir helfen wollt dann bitte mit Lösungsansatz (Rechnung) und Lösung, damit ich das Thema anhand der Aufgabe verstehen und hinterher auch selber lösen kann!
Aufgabe: Für ein Unternehmen, das in einem regional begrenzten Gebiet Angebotsmonopolist ist, gilt die Erlösfunktion E mit E(x)= -x²+20x. Die Kosten des Unternehmens ergeben sich aus K:K(x)= 4x+10.
a) Zeichnen Sie die Graphen der Erlös- und Kostenfunktion in ein Koordinatensystem. Führen Sie die dazu notwendigen Berechnungen durch.
b) Wie lautet die Gleichung der Gewinnfunktion?
c) Bestimmen Sie algebraisch die Nullstellen und den Scheitelpunkt des Graphen der Gewinnfunktion.
d) Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe a)
e) Wie sind die in Teilaufgabe c) berechneten Nullstellen betriebswirtschaftlich zu interpretieren? Welche alternative Lösungsmöglichkeit gibt es zur Berechnung dieser Stellen?
f) Bei welcher Produktionsmenge maximiert das Unternehmen seinen Gewinn? Wie hoch ist der Gewinn dann?
3 Antworten
Hallo - also zu Beginn mal zu a)
Zum Einzeichnen in ein Koordinatensystem brauchst du Wertepaare - also zu einem x-Wert den passenden y-Wert! In deinem Fall sind die y-Werte einmal E(x) und einmal K(x)!
Notwendige Berechnungen bedeutet, du setzt jeweils für x bestimmte Werte ein - zum Beispiel x = [0, 1, 2, 3, 4, 5] - und berechnest dir daraus die jeweiligen Ergebnisse zu E(x) und K(x)! Daraus erhälst du Wertepaare die du ins KS einzeichnen kannst!
Beispiel:
x = 2
E(2) = -2²+20*2 = 4+40 = 44
Wertepaar = (2/44)
Gehen wir mal Schritt für Schritt:
Ich nehem an, "x" sind die verkauften Teile.
Die Erlösfunktion gibt dann Auskunft über die Einnahmen in Abhängigkeit der verkauften Teile.
Die Kosten setzen sich zusammen aus den Fixkosten (z.B. Miete) und den variablen Kosten (z.B. Material). In unserem Fall: Fixkosten = 10, variable Kosten = 4*x. Wenn also nix verkauft wird, fallen trotzdem die Fixkosten von 10 an.
Bildest du nun die Differenz Erlös-Kosten hast du das, was in der Aufgabenstellung mit "Gewinn" bezeichnet wurde:
also: G(x) = -x^2 + 20x - (4x + 10) = -x^2 +20x -4x - 10
G(x) = -x^2 + 16x -10 <<< das ist schon mal (b)
(a) ist sicher kein Problem. G(x) kannst du nun lösen (Nullstellen und Extremwert) >>> daraus die Teilaufgaben (c) und (d)
so weit erst mal
Ich jetzt auch, habe vergessen die Wurzel zu ziehen!
jut, .... wir habe also bereits bei 1 Stück Verkauf den Break-Even überschritten (1. Null stelle)
Lösungsansätze:
- Gewinnfunktion: Differenz aus Erlös minus Kosten (g(x)=-x²+16x-10)
- Nullstellen sind die Schnittpunkte von g mit der x-Achse-x²+16x-10 = 0 Für p,q-Formel erst mit (-1) multiplizieren
- Scheitelpunkt braucht hier keine quadratische Ergänzung: x ist das -p/2 aus der p,q-Formel; dann nur noch y = f(x) ausrechnen
- Maximum kommt aus der 1. Ableitung von g(x). Diese wird auf Null gesetzt. Nicht vergessen, dann noch f(x) auszurechnen (y-Wert)
Fragen in einem Kommentar, bitte.
Ich bekomme bei den Nullstellen meiner Meinung nach etwas falsches raus:
G(x)= -x²+16x-10
0= -x²+16x-10 / mal (-1)
0= x²-16x+10
x 1,2= - p/2 +- in der Wurzel: p/2² - q
x 1,2= 8 +- Wurzel: 8²-10 (54)
x1= 62
x2= -46
Kann doch eigentlich nur falsch sein
x₁ = 8 + √(64-10) = 15,348
x₂ = 8 - √(64-10) = 0,651
Du hast das Wurzelziehen vergessen.
Ja, warum denn auch nicht? Bei Wurzeln gibt es ganz selten glatte Ergebnisse,
bei Erlösen, Kosten und Gewinnen nahezu grundsätzlich nie.
Die Werte sind ohnehin alle nur angenähert.
Wenn bei höheren Produktionsmengen die Kosten (aus welchen Gründen auch immer) wieder ansteigen sollten, kann durchaus der Gewinn auch auf unter Null sinken. Diese ganze Rechnung ist ja gerade dazu da, den richtigen Zeitpunkt zu erwischen, um mit der Produktion wieder rechtzeitig aufzuhören.
Noch ein Hinweis:
Das Maximum ist bei einer solchen Parabel alternativ auch schon der Scheitelpunkt!
Ich habe mal Erlös- und Kostenkurve nach Wolfram gestellt. Da sieht man deutlich, dass die Kosten beständig steigen, während der Erlös nach einem Maximum absinkt. Daher zwei Nullstellen in der Gewinnkurve.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%C2%B2%2B20x%3D4x%2B10
Ich bekomme bei den Nullstellen meiner Meinung nach etwas falsches raus:
G(x)= -x²+16x-10
0= -x²+16x-10 / mal (-1)
0= x²-16x+10
x 1,2= - p/2 +- in der Wurzel: p/2² - q
x 1,2= 8 +- Wurzel: 8²-10 (54)
x1= 62
x2= -46
Kann doch eigentlich nur falsch sein