Mathe tangens^(-1) oder arctangens?
Gibt es einen Unterschied zwischen tangens^(-1) und arctangens? Meine Mutter meint, wenn man die Ankathete und Gegenkathete hat, muss man den Arctangens zur Berechnung des Winkels benutzen. Tangens^(-1) sei ihrer Meinung nach falsch.
Ich bin der Meinung, dass Tangens^(-1) die richtige Berechnung sei. Arctangens haben wir nie durchgenommen, also kenne ich den Unterschied nicht.
7 Antworten
Die Bennennung (auf dem Taschenrechner) ist insofern irreführend, als a^(-1) definitionsgemäß 1/a bedeutet, was nicht nur für 1 gilt, sondern für alle n und eigentlich auch für alle Funktionen. Aber da ist selbst Wolfram vor der anscheinend übermächtigen Taschenrechnerlobby in die Knie gegangen und berechnet tan^-1 wie arctan,
macht aber einen erklärenden Vermerk auf dem Display.
Dennoch ist es unlogisch, weil sich auch Wolfram an die Konvention
tan² α = (tan α)² hält, dort natürlich mit der Doppelklammer geschrieben, die in der Konvention durch die Schreibweise links eben vermieden werden sollte.
So ist es ärgerlich, dass auch bei Wolfram etwas Verschiedenes herauskommt, wenn man einerseits tan^-1 α und andererseits (tan α)^(-1) eingibt.
Die Bezeichnung arctan ist ja nicht umsonst erfunden worden. Mein wissenschaftlicher Taschenrechner unterscheidet das auch sehr wohl. Seine 2-nd Function heißt atan.
Bis jetzt beste geordneste Antwort bei KDWalther, der direkten Erklärung habe ich nichts hinzuzufügen. Aber anderes:
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1) "arctan" ist eine Abkürzung für Arcustangens. Die Funktion ordnet einem Tangenswert einen Kreisbogen des Einheitskreises und damit einen Winkel zu, der diesen Tangens hat. "Bogen" heißt nun auf lateinisch ARCUS, franz. arc, engl. arch (in der Architektur) ). So ergibt das auch vom Wort her einen Sinn.
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2) Da der Arcustangens eine Funktion ist, ordnet einem Tangens x immer nur einen Winkel zu. Denn sonst sonst wäre die Zuordnung keine Funktion. Per Definition ist der Arcustangens einer Zahl x ein Winkel zwischen -π/2 (-90°) und +π/2 (+90°) (Grenzen nicht eingeschlossen)
Es der aber unendlich viele weitere Winkel, die dann dieses x ebenfalls als Tangens haben. Das ist für die Vollständigkeit einer Lösung oft wichtig. Alle Winkel zu die einen vorgegebenen Tangens haben., haben die Form:
arctan(x) + k * π (entspricht arctan(x) + k * 180°)
wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.
Beispiel: arctan(-1) = -π/4 ( -45°). Den Tangens -1 haben aber auch die Winkel
- ..., -9π/4, -5π4, (-π/4), 3π/4, 7π/4, .... das entspricht
- ..., -405°, -225°, (-45°), 135°, 315°, ...
Wie wäre es mit folgender Antwort: Ihr habt beide Recht.
Das Blöde ist, dass die Schreibweise tan^(-1) doppeldeutig ist. Gemeint ist hier auf jeden Fall die Umkehrfunktion, weil Du ja aus einem tan-Wert wieder den ursprünglichen Winkel berechnet haben möchtest. Also muss die Wirkung, die die tan-Funktion auf den Winkel ausgeübt hat, rückgängig gemacht werden.
Als Umkehrfunkton zu trigonometrischen Funktion ist in der Mathe die Bezeichnung mit arc... üblich (arcsin, arccos, arctan). Auf den Taschenrechner-Tastaturen sind die Umkehrfunktionen meist auf derselben Taste untergebracht und werden mit "^-1" geschrieben.
Für beliebige Funktionen ist in der Mathematik die Schreibweise ^-1 für eine Umkehrfunktion gebräuchlich; also allgemein: die Umkehrfunktion zu f wird mit f^-1 geschrieben (z.B. auch bei Wikipedia).
Und dann gibt es die andere Bedeutung von ^-1, nämlich als Exponent einer Potenz. Das wäre dann dasselbe wie ein Kehrwert zur Basis dieser Potenz.
1/tan und arcctan sind aber eben völlig unterschiedliche Dinge.
Deine Mutter verwechselt vermutlich tan^(-1)(x)=arctan(x) und (tan(x))^-1=1/tan(x), welches 2 verschiedene Sachen sind.
Muttern hat recht. Arctan liefert als Ergebnis einen Winkel, tan^-1 einen Bruch (tan^-1 = 1/tan). Leider ist der arctan auf vielen Taschenrechnern falsch beschriftet.
Lass Muttern in Ruhe. Arctan und tan^-1 ist nicht dasselbe.