Mathe Aufgabe? Kurvendiskussion?
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x³ - 6·x² + 9• x, x ER.
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
c) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte.
d) Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte
Würde mich über eine Antwort egal zu welcher Teilaufgabe freuen
3 Antworten
Mathe Aufgabe? Kurvendiskussion?
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x³ - 6·x² + 9• x, x ER.
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
c) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte.
d) Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte
Würde mich über eine Antwort egal zu welcher Teilaufgabe freuen
Was genau ist jetzt Deine Frage? Oder willst Du nur die Lösungen haben?
Hey, Lösungen wären echt hilfreich, damit ich es nachvollziehen könnte
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
Die Nullstellen erhältst du, indem du den Funktionsterm mit 0 gleichsetzt und nach x umformst. Den y-Achsenabschnitt findest du heraus, indem du 0 für x in den Funktionsterm einsetzt.
c) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte.
Dazu solltest du die Ableitungen mithilfe der bekannten Regeln aufstellen. Für Extrempunkte gibt es folgende Bedingungen:
notwendige Bedingung: f'(x) = 0
hinreichende Bedigung: f''(x) > 0 (--> Tiefpunkt) oder f''(x) < 0 (--> Hochpunkt)
Diese Bedingungen überprüfst du einfach (erst die erste Ableitung mit 0 gleichsetzen und anschließend alle potentiellen Extremstellen für x in die zweite Ableitung einsetzen).
d) Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte
Für Wendepunkte gibt es folgende Bedingungen:
notwendige Bedingung: f''(x) = 0
hinreichende Bedingung: f'''(x) > 0 (--> Rechts-Links-Wendepunkt) oder f'''(x) < 0 (--> Links-Rechts-Wendepunkt)
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Ein Beispiel (anderes Beispiel als in der Aufgabe!)Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x³ + 3x² - 4.
1. Ableitungen
f(x) = x³ + 3x² - 4
f'(x) = 3x² + 6x
f''(x) = 6x + 6
f'''(x) = 6
2. Nullstellen
0 = x³ + 3x² - 4 | (x - 1) ausklammern (--> Polynomdivision)
0 = (x - 1)(x² + 4x + 4) | binomische Formel anwenden
0 = (x - 1)(x + 2)² | Nullstellen ablesen
Die Nullstellen sind x = 1 sowie x = -2 (doppelte Nullstelle).
3. y-Achsenabschnitt
f(0) = 0³ + 3 * 0² - 4
= - 4
Der y-Achsenabschnitt ist y = -4.
4. Extrempunkte
notwendige Bedingung:
f'(x) = 3x² + 6x = 0 | x ausklammern
x(3x + 6) = 0 | Satz vom Nullprodukt
x = 0 oder 3x + 6 = 0 | -6
3x = -6 | :3
x = -2
hinreichende Bedingung:
f''(0) = 6 * 0 + 6
= 6 > 0 --> Tiefstelle
f''(-2) = 6 * (-2) + 6
= -12 + 6
= -6 < 0 --> Hochstelle
y-Koordinaten bestimmen:
f(0) = 0³ + 3 * 0² - 4
= - 4
f(-2) = (-2)³ + 3 * (-2)² - 4
= -8 + 12 - 4
= 0
Somit hat der Graph von f einen Tiefpunkt bei (0 | -4) und einen Hochpunkt bei (-2 | 0).
5. Wendepunkte
notwendige Bedingung:
f''(x) = 6x + 6 = 0 | -6
6x = -6 | :6
x = -1
hinreichende Bedingung:
f'''(-1) = 6 > 0 --> Rechts-Links-Wendestelle
y-Koordinate bestimmen:
f(-1) = (-1)³ + 3 * (-1)² - 4
= -1 + 3 - 4
= -2
Somit hat der Graph von f einen Rechts-Links-Wendepunkt bei (-1 | -2).
6. Graph der Funktion f
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Ähnlich kannst du bei deiner Aufgabe vorgehen. Die grundsätzliche Vorgehensweise ist dieselbe. Zum Überprüfen der Lösungen kannst du den Graphen der Funktion durch einen GTR oder GeoGebra zeichnen lassen.
einfach eine Kurvendiskussion durchführen
f(x)=x³-6*x²+9*x Schnittstelle mit der y-Achse bei x=0 f(0)=0³-6*0²+9*0=0
Graph geht durch den Ursprung
Schnittpunkte mit der x-Achse y=f(x)=0
0=x³-6*x²+9*x eine Nullstelle bei x1=0 weil hier nur Terme mit x vorliegen,sieht man so schon
0=x*(x²-6*x+9) weitere Nullstellen,wenn 0=x²-6*x+9 ist eine Parabel,Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
p=-6 und q=9
x2,3=-(-6)/2+/-Wurzel((-6/2)²-9)=3+/-Wurzel(9-9)=3+/-0
x2=x3=3 → doppelte Nullstelle,Graph berührt bei x=3 die x-Achse
Extrema
f´(x)=0=3*x²-12*x+9
0=3*x²-12*x+9 dividiert durch 3
0=x²-4*x+3 → p-q-Formel
p=-4 q=3
x1,2=-(-4)/2+/-Wurzel((-4/2)²-3)=2+/-1
x1=2+1=3 und x2=2-1=1
prüfen ob Maximum oder Minimum
f´´(x)=6*x-12
f´´(3)=6*3-12=18-12=6>0 also Minimum bei xmin=3
f´´(1)=6*1-12=6-12=-6<0 also Maximum bei xmax=1
Wendepunkt: f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich NULL
f´´(x)=0=6*x-12 Nullstelle xw=12/6=2
f´´´(x)=6 ungleich NULL
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