Kann mir bitte jemand sagen, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll, bzw. was ich machen muss?
Hallo Leute, ich brauch dringend Hilfe bei einer Mathe Aufgabe. Diese Lautet
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -1/4x^3+3/2x^2. Zeigen Sie dass die Geraden durch den Hoch-und den Tiefpunkt des Graphen diesen im Wendepunkt schneidet.
1 Antwort
Die erste bis dritte Ableitung der Funktion f(x) lautet
f'(x) = -3/4(x-4)x
f''(x) = -1/2(3x-6)
f'''(x) = -3/2
Die erste Ableitung f'(x) wird 0 für die Funktionswerte x = 0 und x = 4.
Bei x=0 liegt ein Tiefpunkt, denn f''(0) > 0.
Bei x=4 liegt ein Hochpunkt, denn f''(4) < 0.
Tiefpunkt T = [0,f(0)] = [0,0]
Hochpunkt H = [4,f(4)] = [4,8]
Eine Gerade lautet allgemein
g(x) = a*x + b
Für die Gerade durch den Tief- und den Hochpunkt muss gelten
g(0) = 0 und g(4) = 8
Daraus lassen sich a und b berechnen
g(x) = 2*x
Nun wird der Schnittpunkt (bzw. die Schnittpunkte) S von f(x) und g(x) ermittelt
Für welche s gilt f(s) = g(s) ?
-1/4s^3 + 3/2s^2 = 2*s
-1/4s^3 + 3/2s^2 - 2*s = 0 (1. Lösung s = 0)
-1/4s^2 + 3/2s - 2 = 0
-s^2 + 6s - 8 = 0 (quadratische Formel)
Es gibt drei Lösungen s=0, s=2, s=4. Das wären die Punkte
S1 = [0,f(0)] = [0,0]
S2 = [2,f(2)] = [2,4]
S3 = [4,f(4)] = [4,8]
S1 und S3 sind klar, denn das waren der Tief- und der Hochpunkt der Funktion f(x).
An der Stelle S2 liegt tatsächlich ein Wendepunkt von f(x), denn f''(2) = 0 und f'''(2) ist ungleich 0.
Anstatt die dritte Ableitung zu betrachten, könnte man auch die Umgebung der zweiten Ableitung bei x = 2 ansehen. An dieser Stelle muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, also von + nach - oder umgekehrt. Hier gilt f''(x) > 0 für x < 2 und f''(x) < 0 für x > 2. Eben das sagt aber auch die dritte Ableitung (ungleich 0) aus.
Um die Schnittpunkte an der x-Achse zu berechnen, muss f(x) = g(x) gelten, also
-1/4x^3 + 3/2x^2 = 2*x
Hier kann man alle Terme erstmal mit 1/x multiplizieren, das ergibt dann schon mal die Lösung x=0. Dann geht es so weiter :
-1/4x^2 + 3/2x = 2
Das ist eine quadratische Gleichung, die man über die bekannten Formeln lösen kann. Lösungen sind x=2 und x=4.
Jetzt weiss man, dass es an den Stellen x=0, x=2 und x=4 Schnittpunkte gibt. Der jeweilige y-Wert des Schnittpunkts ergibt sich dann aus f(0), f(2) und f(4) aber genauso (und leichter rechenbar) aus g(0), g(2) und g(4). Diese Identität besteht, sonst wären da keine Schnittpunkte.
Was sind das für funktionen bei den schnittpunkten wie kommst du auf die?
Ich verstehe nicht wie du das mit den schnittpunkten gemacht hast ?