Frage von Avarlagon, 16

Linearfaktorzerlegung korrekte Schreibweise?

Guten Tag,

ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Ich muss habe keine Ahnung wie genau ich das aufschreiben kann.. Ich habe durch die Polynomdivision diesen Linearfaktor herausbekommen: (x+2)⋅(x+2)⋅(x hoch 2+2x−15) Die Nullstellen von x2+2x−15 sind 3 und −5. Wie aber soll ich sie aufschreiben? (x+2)⋅(x+2)⋅(x−3)⋅(x+5)?

Antwort
von poseidon42, 11

Also angenommen du hast ein Polynom p(x) n-ter Ordnung mit n reellen Nullstellen. Beispiel ein Polynom p(x) vom Grad 3 mit den Nullstellen:

x = 1

x = 2

x = 3

Und du möchtest nun das Polynom p(x) als ein Produkt seiner Linearfaktoren darstellen. In der Form:

P(x)= (x  - 3)(x - 2)(x - 1)

Wenn a eine Nullstelle des Polynoms ist, so ist (x - a) der zugehörige Linearfaktor. Das Minus kommt daher, da für denn Fall x = a, das Produkt der Linearfaktoren Null sein muss. Da x - a = 0 für x=a.

Kommentar von Avarlagon ,

Gut danke. Also bedeutet dies im meinem Fall, dass wenn die Nullstellen von
x2+2x−15 (3 und -5 sind), dass ich das insgesamt so schreiben kann?
(x+2)⋅(x+2)⋅(x−3)⋅(x+5)

Kommentar von poseidon42 ,

Ja, du kannst stets die Probe machen, wenn du eine der Nullstellen einsetzt muss am Ende Null rauskommen.

Antwort
von Wechselfreund, 3

Ein Produkt ist dann gleich null wenn einer der Faktoren null ist. Die Klammern müssen also so geschrieben werden, dass der Faktor null entsteht, wenn die Nullstelle eingesetzt wird.

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