Kantenlänge mit Hilfe von Raumdiagonalen? (mathe)
in mathe soll ich die kantenlänge von einem würfel ausrechnen, gegeben ist die raumdiagonale, 12cm lang. es wäre nett, wenn ihr mir sagen könntet wie ich das angehen soll, ich selbst habe mir zwar schon ein paar formeln überlegt, bin aber nicht weiter gekommen
da ich erst in die 8. klasse gehe und was mathe angeht mich etwas schwer tue, wäre es nett wenn ihr mir auch eine plausible erklärung dazu geben könntet
7 Antworten
Mache dir am besten anhand einer Zeichnung folgendes klar:
Betrachte die Raumdiagonale R des Würfels als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes. Die Katheten dieses Dreieckes sind
1) eine beliebige der Kanten K des Würfels, die von R berührt werden (es gibt sechs solcher Kanten, drei an jedem Ende von R) und
2) die Verbindungsstrecke zwischen den noch freien Enden von R und der "ausgeguckten" Kante K. Diese Verbindungsstrecke ist eine Diagonale einer der Seitenflächen des Würfels, ich bezeichne sie im Folgenden mit D.
.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
R^2 = D^2 + K^2
(Gleichung 1)
.
R ist bekannt, D jedoch nicht. Du weißt aber, dass D die Diagonale einer Seitenfläche des Würfels ist. Da die Seitenfläche des Würfels ein Rechteck (sogar ein Quadrat) ist, bildet D mit zwei der Kanten dieser Seitenfläche ein rechtwinkliges Dreieck.
Daher kann D wiederum mit Hilfe des Satzes des Pythagoras aus der Kantenlänge K berechnet werden:
D^2 = K^2 + K^2 = 2 * K^2
(Gleichung 2)
(Da beim Würfel alle Kanten K gleich lang ist, musst du hier nicht darauf achten, welche Kante K du nimmst.)
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Setzt du nun die Gleichung 2 in die Gleichung 1 ein, dann erhältst du:
R^2 = 2 * K^2 + K^2 = 3 * K^2
.
Dies nach K aufgelöst ergibt:
K^2 = R^2 / 3
<=> K = 2.Wurzel(R^2 / 3)
<=> K = R / 2.Wurzel( 3 )
.
Hier kannst du nun das bekannte R = 12 cm einsetzen und erhältst als Kantenlänge K des Würfels:
K = 12 cm / 2.Wurzel( 3 ) = 6,928... cm.
Das ist ganz einfach die Raumdiagonale R² kannst du im satz des Pythagoras aus der Kantenlänge k² und der Diagonalen D² ausrechnen....
Diagonale D² wir aus k²+k² gebildet
Also beginnst du so
Ber. um R
R² = D² + D² R² = 144 144 : 2 = 72 Wurzel aus 72 = 8,5 D² = 72 D = 8,5
Ber. um k
D² = k² + k² D² = 72 72 : 2 = 36 Wurzel aus 36 = 6 k²= 36 k = 6
Sollte irgendwie sich ein fehler reingeschlichen haben, dann sagt bescheid aber das sieht ganz gut aus und sollte richtig sein ^^
raumdiagonale= kantenlänge * Wurzel 3 |:Wurzel3
Raumdiagonale : Wurzel 3 = Kantenlänge
Hi, also: 12 im Quadrat(144) gleich Summe beider Ankatheten. 144:2=72. Wurzel aus 72 = 8,49. Die Kantenlänge sollte rund 8,5 cm betragen. Gegenprobe: 8,49 hoch 2 = 72. 72 + 72 = 144. 12 hoch 2 = 144. Stimmt. Da Du so mathematisch befragt bist: gehst Du aufs Gymnasium? Gruß Osmond
Diese Antwort solltest du noch einmal zumindest grob überdenken.
Was du ausgerechnet hast, ist die Länge der Seiten eines Quadrates, dessen Diagonale 12 cm lang ist.
Zu berechnen war aber die Kantenlänge eines Würfels, dessen Raumdiagonale 12 cm lang ist.
Tut mir Leid, aber auch das ist nicht richtig.
.
Die Länge der Raumdiagonale R in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ist:
R = 2.Wurzel( 3 ) * a
.
Wäre, wie du es geschrieben hast,
R = 3.Wurzel( a )
dann wäre die Raumdiagonale eines Würfels mit einer Kantenlänge größer als 1 kleiner als die Kantenlänge selbst. Du siehst sicher ein, dass das nicht sein kann.
Hi, mein Wert stimmt, extra lange gegoogelt für den Link. lgO.
http://www.thomas-jahnke.de/technik/umrechnungen/Rechner-wuerfel.htm
Dein Wert stimmt - aber der Weg, auf dem du zu diesem Wert gekommen sein willst, ist falsch.
Du schreibst:
"die Diagonallänge ist 3. Wurzel von a(Kantenlänge)."
.
Wenn ich aber die 3.Wurzel deiner Kantenlänge ( 6,39 ) berechne, erhalte ich:
3.Wurzel( 6,93 ) = 1,906 ...
und das kann wohl kaum die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels mit der Kantenlänge 6,93 sein ...
.
Also: Wo auch immer du deine korrekten 6,93 her hast - mit deiner Formel
Diagonallänge = 3.Wurzel( a ) hast du diesen Wert sicher nicht errechnet.
Hi, Satz des Pythagoras: im rechtwinkligen Dreieck ist die Quadrate der beiden Ankatheten gleich dem Hypothenusen Quadrat.
A Qudrat + B Quadrat = C Quadrat.
Gruß Osmond
http://www.mathepower.com/rechtw.php
das ist mir bereits bekannt, da dass unser thema ist :) ich wusste aber irgendwie nicht, wie ich das auf diese aufgabe anwenden soll, bzw wo ich anfangen soll...
Hi, da ist was schief gelaufen: neue Antwort. Also hier nochmals: Hi, also: 12 im Quadrat(144) gleich Summe beider Ankatheten. 144:2=72. Wurzel aus 72 = 8,49. Die Kantenlänge sollte rund 8,5 cm betragen. Gegenprobe: 8,49 hoch 2 = 72. 72 + 72 = 144. 12 hoch 2 = 144. Stimmt. Da Du so mathematisch befragt bist: gehst Du aufs Gymnasium? Gruß Osmond
achso 8te klasse
potenz? weißt du was das ist also 6² = 6*6 =36?
Wurzel ist das Gegenteil...6 ist die Wurzel von 36