Kann jemand diesen term als produkt zweier faktoren schreiben?

Hi Leute,

Habe hier eine Aufgabe an der ich schon lange sitze. Ich muss diesen term

4z^-2 - 4 + z^2 als produkt zweier faktoren schreiben. hat jemand eine idee? Danke =)

Answer 1

[nobytree2]

einfacher Trick

$4z^{-2}-4+z^2=Z^{-2}\left(4-4z^2+z^4\right)=z^{-2}\left(2^2-2\cdot2\cdot z^2+\left(z^2\right)^2\right)$

und letzteres sieht doch arg nach Binomi mit z² und 2 als Komponenten aus ...

$=z^{-2}\left(2-z^2\right)^2=\left(\frac{1}{z}\right)^2\left(2-z^2\right)=\left(\frac{1}{z}\left(2-z^2\right)\right)^2=\left(2z^{-2}-z\right)^2$

Answer 2

[mihisu]

Naja, wenn man sowas schon öfter gesehen hat, kommt man evtl. schnell darauf das zu...

$4z^{-2}-4\cdot z^{-1}\cdot z+z^2$

... zu ergänzen und dann mit binomischer Formel zu...

$\left(2z^{-1}-z\right)^2$

[Versuch das mal umgekehrt auszumultiplizeren. Dann siehst du, wie das zusammenhängt.]

... bzw. wenn man es expliziter mit zwei Faktoren geschrieben haben möchte zu ...

$\left(2z^{-1}-z\right)\cdot\left(2z^{-1}-z\right)$

... umzuformen.

============

Ansonsten könnte man auch erst einmal auf die Idee kommen, z^(-2) auszuklammern.

$z^{-2}\cdot\left(4-4z^2+z^4\right)$

Dann könnte man das Polynom 4 - 4z² + z^4 evtl. leichter in gewohnter Weise faktorisieren (insbesondere wenn man z² substituiert)...

$z^{-2}\cdot\left(2-z^2\right)^2$

[Theoretisch könnte man noch weiter faktorisieren.]

Wenn man dann z^(-2) wieder reinmultipliziert erhält man ebenfalls...

$\left(2z^{-1}-z\right)^2$

-----------

Bzw. wurde nicht genau spezifiziert, dass die Faktoren bestimmte Bedingungen erfüllen sollen (zumindest nicht laut deiner Fragestellung). Demnach könnte man beispielsweise auch einfach...

$1\cdot\left(4z^{-2}-4+z^2\right)$

... oder ...

$z^{-2}\cdot\left(4-4z^2+z^4\right)$

... schreiben und wäre damit fertig.

Comments

[Nonamethihi]

wow danke, für die erklärung. Hatte paar ähnliche ideen aber das hat mir sehr geholfen.

Answer 3

[Wechselfreund]

Vermutung: (2/z -z)²

Comments

[Nonamethihi]

ja das sieht garnicht so verkehrt aus

[Wechselfreund]

@Nonamethihi

Für zwei Faktoren könnte man natürlich auch nur ausklammern. Aber hier steckt eben eine binomische Formel drin.

[Nonamethihi]

@Wechselfreund

könnte man nicht auch wie in der Frage oben nicht einfach eins ausklammern? Also 1 mal und dann der term in klammern?

[Wechselfreund]

@Nonamethihi

Wie ist die wörtliche Aufgabenstellung?

[Nonamethihi]

@Wechselfreund

Zerlegen sie die folgenden Summen als ein Produkt zweier faktoren

[Wechselfreund]

@Nonamethihi

Bei der oberflächlichen Formulierung könnte man 1 ausklammern. Das dürfte nicht beabsichtigt sein...

[Nonamethihi]

@Wechselfreund

Vllt gibts ja nen extrapunkt weil der weg wirklich smart ist wie ich finde. Das hat der Kollege oben gut gesehen

Answer 4

[Rubezahl2000]

4z^-2 - 4 + z^2 = (2/z)² - 4 + z²

Und jetzt die 2. Binomische Formel rückwärts:

=> (2/z - z)²

Probe:
(2/z - z)² = (2/z)² - 4z/z + z²
= (2/z)² - 4 + z²
= 4z^-2 - 4 + z^2

Answer 5

[Volens]

Nachdem du diese spezielle Lösung nach den vielen Zuschriften sicher schon singen kannst, möchte ich dir mal etwas Allgemeines mitgeben, das man immer überprüft, wenn ein Term mit zwei oder drei Elementen vorliegt, der faktorisiert werden soll.

https://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

Für diese Anwendung ginge das so:
1) Es sind drei Elemente da.
2) Das erste und dritte Elemente sind vollständige Quadrate.
3) Ich ziehe aus diesen beiden die Wurzeln.
4) Ich multipliziere die Wurzeln miteinander und dann noch mal 2.
5) Kommt das mittlere Element heraus, dann ist der ganze Term ein quadratisches Binom, also (a ± b)². Die Wurzeln kann man abschreiben, das mittlere Vorzeichen wird übernommen.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb