Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Was gilt bei abschnittsweise def. Funktionen?
Hey Leute,
ich stehe gerade auf dem Schlauch. An der Uni lerne ich, dass jede diff‘bare Funktion stetig ist.
Betrachten wir nun eine Funktion f, die abschnittsweise definiert ist:
f(x)=x^3 für x<0, f(x)=x^2+1 für x>=0.
Der Übergang ist diff‘bar, denn die Ableitungen konvergieren von beiden Seiten gegen den gleichen Wert, nämlich Null.
Der Übergang ist aber alles andere als stetig, denn von links nähere ich mich der Null, von rechts aber der 1.
Diese abschnittsweise def. Funktion ist also im Übergang diff‘bar, aber nicht stetig.
Gilt die Folgerung f diff‘bar, also f auch stetig nur für nicht-abschnittsweise def. Funktionen?
Noch eine Frage: Reicht es überhaupt um für den Übergang Stetigkeit zu zeigen, dass man die Funktion von beiden Seiten gegen die Stelle laufen lässt und den Grenzwert vergleicht? Gleiches für die Diff‘barkeit, reicht das hier auch die Ableitung von beiden Teilen gegen die Stelle konvergieren zu lassen?
Ich würde mich sehr über Rückmeldungen freuen! :)
3 Antworten
Also meiner Ansicht nach bedeutet differenzierbar, dass es eindeutig linear approximierbar ist, also Funktionswert und Ableitung übereinstimmen müssen. Wenn nur die Ableitungen übereinstimmen, erfüllst du meiner Meinung nach nur eines der beiden notwendigen Kriterien. Das heißt wenn du an der zu untersuchenden Stelle eine Sprungstelle hast, können ja da links- und rechtsseitiger Grenzwert der Funktion gar nicht übereinstimmen.
- Guck mal, dies ist (wie von Dir angegeben) für "kleiner" und "größer gleich" Null deklariert:
- Aber die Ableitung ist nur für "kleiner" und "größer" Null berechnet worden, wieso?
- Schauen wir uns den Grenzwert des Differenzenquotienten an:
- Offenbar dasselbe, aber wieso?
- Was passiert denn an der Stelle Null?
- Übersetzung des Ergebnisses
- Kostenfreie Demo um Code zu verwenden: Downloadseite
Die Funktionen in deinem Beispiel sind nicht diffbar. Stetigkeit ist eine Voraussetzung für Diffbarkeit, es genügt nicht, wenn links- und rechtsseitige Steigung übereinstimmen. Umgekehrt ist natürlich dann jede diffbare Funktion stetig.