Die Funktion h(x) ist als Komposition stetiger Funktionen stetig?

Hallo,

kann mir bitte jemand sagen ,was genau diese Satz bedeutet?

Was genau ist überhaupt die Komposition stetiger Funktionen?^^

danke:)

Answer 1

[Phleppse]

Eine Komposition ist eine Verkettung von mehreren Funktionen, gekennzeichnet durch einen Kringel.

Wenn du zum Beispiel eine Funktion f(x)=x² und eine Funktion g(x)=2(x-4)³ hast, dann gibt es zwei Möglichkeiten, diese zu verketten, und zwar f "Kringel" g oder g "Kringel" f. An diesem Beispiel möchte ich dir mal zweiteres zeigen.

Du erhältst die Funktion g(f(x))=2(x²-4)³. Dieser Satz bedeutet im Prinzip damit nichts anderes, als:

"Schmeiße zwei stetige Funktion über eine Verkettung zusammen, dann bekommst du wieder eine stetige Funktion heraus".

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Naturwissenschaftler mit Mathematikaffinität

Comments

[Isakoch]

Okay das habe ich verstanden.

aber wenn ich zb h(x)= x^4 -2x^2 +1 habe und nun dort steth: Die Funktion h(x) ist als Komposition stetiger Funktionen stetig.

was genau bedeutet denn das? wo ist denn die zweite funktion , die ich dann quasi zusammen schmeiße ?

[Phleppse]

@Isakoch

Denkbar wäre in deinem Beispiel, dass die Funktionen f(x)=x² und g(x)=x²-2x+1 über g "Kringel" f verkettet wurden.

Diese Funktionen sind beide stetig und ergeben in ihrer Komposition wieder eine stetige Funktion.

[Isakoch]

@Phleppse

das verstehe ich ,aber was nützt mir dann genau dieser satz?

ich dann doch dann auch einfach direkt sagt g(x) ist stetig. das wars oder nicht?

[Phleppse]

@Isakoch

Dieser Satz macht bei komplexeren Verkettungen eine Stetigkeitsuntersuchung für die Komposition mittels Epsilon-Delta Kriterium überflüssig, wenn vorher die Stetigkeit der einzelnen Funktionen gezeigt werden konnte.

Ein anderer Nutzen würde mir da jetzt auch nicht einfallen