Grenzwert berechnen in R^n (Beispiel)?

Hallo folgender Grenzwert soll berechnet werden:

Laut Lösung soll hier 0 rauskommen. Wenn ich aus z-Richtung komme macht das Ganze ja auch Sinn, allerdings muss man ja die allgemeine Stetigkeit für den Punkt berechnen.

Wie könnte ich das berechnen?

Answer 1

[DerRoll]

Der Trick ist das e^z - 1 für z gegen 0 schneller gegen 0 geht als 1/2sqrt(x) gegen unendl. für x gegen 0. Zunächst kannst du ohne Beschränkung der Allgemeinheit den Fall auf zwei Dimensionen reduzieren, indem du y = 1 setzt (warum?). Nun wähle für epsilon > 0 N so, das sowohl z_n wie auch x_n für n > N in einer Kugel um (0, 0) liegen, innerhalb derer gilt das der komplette Wert innerhalb des lim kleiner als epsilon ist. Dies ist wegen obiger Beziehung und der Tatsache dass x_n und z_n Nullfolgen sind immer möglich.

Das ist natürlich nur eine Beweisskizze, ausformulieren mußt du selbst.

Comments

[tothemoon18]

Stimmt das macht Sinn danke🤝

[mihisu]

Der Trick ist das e^z - 1 für z gegen 0 schneller gegen 0 geht als 1/2sqrt(x) gegen unendl. für x gegen 0.

Das Problem dabei ist nur, dass x und z quasi unabhängig voneinander sind. Bei...

1/(2*sqrt(x)) * (e^x - 1)

... wäre das korrekt. Aber...

1/(2*sqrt(x)) * (e^z - 1)

... ist eben etwas ganz anderes. Da man x unabhängig von z schneller gegen 0 laufen lassen kann, und zwar so viel schneller, dass es dieses Spielchen mit „exponentiell gewinnt“ ausgleicht oder sogar umkehrt. Man muss nur einen geeigneten Weg betrachten, bei dem x entsprechend schneller gegen 0 geht als z gegen 0 geht, und schon ist die Idee kaputt.

[DerRoll]

@mihisu

Danke für die Korrektur, die Rechnung im mehrdimensionalen hat mir schon immer ein paar Probleme bereitet.

Answer 2

[ChrisGE1267]

Das ist gar keine so einfache Aufgabe. Zunächst kann man mal das lästige y loswerden, da der Grenzübergang für y gegen 1 unkritisch ist - im Grenzwert würde, wenn er existierte, höchstens noch ein Faktor 1/2 dazukommen. Daher betrachte die Funktion:

f(x, z) = 1/Sqrt(Abs(x))*sign(x)*(Exp(z) - 1)

und hier den Grenzwert für (x, z) gegen (0, 0). Ich hab mir das mal auf Wolfram-Alpha angeschaut, leider ist die Grafik etwas unübersichtlich am kritischen Punkt.

Die Funktion ist entlang der Geraden singulär, kann daher bei (0, 0) nicht stetig sein. Der Grenzwert sollte daher nicht existieren…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 3

[mihisu]

Soweit ich das sehe, ist der Grenzwert nicht gleich 0, denn der Grenzwert existiert gar nicht.

============

Begründung:

Sei...

$D:=\left\lbrace (x, y, z)\in\mathbb{R}^3\middle| x\ne 0, y\ne 0\right\rbrace$

Betrachte die Funktion...

$f:\ D \to \mathbb{R},\ (x, y, z)\mapsto \frac{1}{2\cdot \sqrt{\left\lvert x y\right\rvert}}\cdot \text{sign}\left(x y\right)\cdot y\cdot \left(\text{e}^{z}-1\right)$

Betrachte die Wege...

$\gamma:\ \left[\frac{1}{2}, 1\right]\to D,\ t\mapsto \left((1-t)^2, t^2, \ln\left(t\right)\right)$

Der Endpunkt des Wegs ist...

$\gamma\left(1\right)=\left(0, 1, 0\right)$

Angenommen...

$\lim\limits_{(x, y, z)\to \left(0, 1, 0\right)}f(x, y, z)$

... würde existieren; dann wäre insbesondere auch...

$\lim\limits_{(x, y, z)\to \left(0, 1, 0\right)}f(x, y, z)=\lim\limits_{t\to 1}f(\gamma(t))$

Nun ist aber...

$\lim\limits_{t\to 1}f(\gamma(t))$

$=\lim\limits_{t\to 1}\left(\frac{1}{2\cdot \sqrt{\left\lvert \left(1-t\right)^2 \cdot t^2\right\rvert}}\cdot \text{sign}\left((1-t)^2\cdot t^2\right)\cdot t^2\cdot \left(\text{e}^{\ln\left(t\right)}-1\right)\right)$

$=\lim\limits_{t\to 1}\left(\frac{1}{2\cdot \left(1-t\right) \cdot t}\cdot t^2\cdot \left(t-1\right)\right)$

$=\lim\limits_{t\to 1}\left(-\frac{t}{2}\right)=-\frac{1}{2}$

Damit wurde also gezeigt, dass der Grenzwert nicht 0 ist, sondern nur -1/2 sein könnte, wenn er existiert.

Ich überlasse es dir, einen anderen Weg zu betrachten, bei dem man einen anderen Grenzwert erhalten würde. Dieser Widerspruch zeigt dann, dass der Grenzwert...

$\lim\limits_{(x, y, z)\to \left(0, 1, 0\right)}f(x, y, z)$

... tatsächlich nicht existiert.