Wie kann ich mithilfe des Binomischen Lehrsatzes diesen Grenzwert berechnen?
Hallo.
Ich muss hier den Grenzwert der Folge berechnen. Ich weiß, dass ich den Binomischen Lehrsatz verwenden muss. Ich weiß aber nicht genau wie ich das machen kann. Könnte mir hier jemand einen kleinen Denkanstoß geben? Ich steh ganz schön auf dem Schlauch.
Der Grenzwert ist außerdem laut Lösung = 1
Ich bedanke mich im Voraus
2 Antworten
Die Summen sind ja beide fast gleich, es "fehlt" nur ein Faktor. Dass x hier 5 ist, sollte klar sein. Überlege dir nun was y sein könnte.
Tipp: welchen Faktor kannst du bei einem Produkt einfach auslassen, da diese Zahl nichts am Produkt ändert?
Wenn du dein y gefunden hast, kannst du dann die Summe in der Folge durch (x+y)^n austauschen, sodass du die Folge vereinfachen kannst.
Hallo,
die Summenformel für die rechte Summe lautet 6^n, wie mit einiger Mühe über die vollständige Induktion bewiesen werden kann.
Der Limes ist also zu bilden von 6^n/(n²+6^n) und der geht für n gegen unendlich gegen 1.
Der Induktionsbeweis ist allerdings nicht ganz einfach. Du benutzt dazu die Tatsache, daß ((n+1) über k)=(n über k)+(n über (k-1)). Sieh Dir dazu das Pascalsche Dreieck an, an dem sich die Binomialkoeffizienten besonders leicht ablesen lassen. Außerdem mußt Du bei den Summen, die jeweils auftreten, mit Indexverschiebungen arbeiten.
Herzliche Grüße,
Willy
Danke, hat mir grad echt geholfen!!
Ich hätte jetzt gesagt dass das y die 5 ist. 🤨
der Faktor 1 ändert nicht das Produkt.
ich würde jetzt sagen: (5+1)^n = 6^n und dann mit dem Ausdruck multiplizieren, welches vor dem Summenzeichen steht. Anschließen 6^n ausklammern und den Grenzwert bilden? 🤔 dann würde ich eben auf 1 als Grenzwert kommen.