Beweis mit binomischen Lehrsatz?

Beweise möglichst geschickt:

Vermutlich soll man mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes x und y so wählen, dass man auf diesen Zusammenhang kommt. Aber irgendwie kriege ich das nicht hin. Hilfe?

Answer 1

[FataMorgana2010]

Nimm doch mal 1 und -2 und überlege, wie du -2 auch schreiben kannst. Und was 1 hoch irgendwas so ist.

1-2 = -1

Das bietet sich doch geradezu an....

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Comments

[delvo1]

Oh man. Ich sollte etwas Schlaf nehmen. Das tat gerade auf einer ganz anderen Ebene weh. Logisch, danke..

Answer 2

[Suboptimierer]

Der binomische Lehrsatz lautet

$\left(x+y\right)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$ https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz

Wenn man diesen voraussetzen darf, braucht man nur x=1 und y=-2 wählen:

$\left(-1\right)^n\ =\ \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot\left(-2\right)^k\ =\ \sum_{k=0}^n\left(-2\right)^k\cdot\binom{n}{k}\ =\ \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^k\cdot2^k\cdot\binom{n}{k}$ Wie man darauf kommen kann? x muss irgendwie herausfallen, weil im Ergebnis keine Potenz n-k vorkommt. Am einfachsten geht das mit x=1. y ergibt sich dann automatisch aus der Gleichung -1 = 1 + y.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik