Wie beweise ich möglichst kurz und verständlich, dass keine Zehnerpotenz (10^n) durch 37 teilbar ist?
Es wäre super ein wenig Hilfe dabei zu bekommen die folgende Gleichung zu zeigen:
10^n / 37 ≠ k (für alle n,k aus den Natürlichen Zahlen und 0)
Sie macht einen sehr trivialen Eindruck, jedoch möchte ich gerne einen standfesten Beweis dafür finden.
Diese Gleichung würde ich gerne auf eine möglichst einfache Art und Weise lösen. Eine mögliche Lösung besteht mithilfe der Teilbarkeitsregeln für die Zahl 37. Welche die Summe aller dreistelligen Zahlenblöcke einer Zahl betrachtet. Jedoch scheint mir die zusätzliche Herleitung dieser Regel ein wenig zu lang und umständlich. Ich frage mich, ob es nicht einen direkteren Weg gibt
3 Antworten
10^n = (2*5)^n = 2^n * 5^n
Das bedeutet, jede positive ganzzahlige Potenz von 10 hat ausschließlich die Primfaktoren 2 und 5. Das Produkt daraus kann niemals durch die Primzahl 37 teilbar sein.
Super, danke! An Primzahlfaktoren habe ich garnicht gedacht.
Hallo,
Du kannst es auch über die Modulo-Rechnung zeigen:
10^1 mod 37=10
10^2 mod 37=26
10^3 mod 37=1
10^4=10^1*10^3
Da 10^1 mod 37=10 und 10^3 mod 37=1, ist (10^1*10^3) mod 37=10*1=10
10^5=10^2*10^3
10^5 mod 37=(26*1)=26
10^6=10^3*10^3
10^6 mod 37=(1*1)=1
Dann beginnt das ganze Spiel wieder von vorn.
Es bleiben bei sämtliche Zehnerpotenzen, die an durch 37 teilt, immer abwechselnd die Reste 10, 26 und 1.
Herzliche Grüße,
Willy
ggT(37, 10) = 1, also sind 37 und 10 relativ prim, darum sind 37^m und 10^n relativ prim für alle m, n > 0. Insbesondere gilt 10^n | 37^m für keine m, n > 0.
* natürlich meine ich eher
37^m | 10^n für keine m, n > 0,
wobei die andere Aussage ebenfalls gilt.