Grenzwert mit dem binomischen Lehrsatz, wie?

hi kann mir jemand helfen wie ich auf den Grenzwert kommen kann?

das ich den binomischen Lehrsatz anwenden muss weiss ich..

ich hab mir vielleicht überlegt das ich (2/n)^k umschreiben kann in 2^k*(1/n)^k

oder sollte ich das mal anders versuchen? danke euch

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

das ich den binomischen Lehrsatz anwenden muss weiss ich

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$ Sieht ziemlich ähnlich aus wie in der Aufgabe, was x und y sein könnte kann man direkt ablesen. Dann muss man nur noch den Summanden für k = 0 auf beiden Seiten abziehen.

Comments

[lamfri]

was meinst du mit beiden Seiten abziehen?

ich hab das so gemacht: (SUMME von 0 bis n-1) (n über k) *(2/n)^k +(2/n)^k+1

meinst du so? weil wenn ich den Laufindex bei 0 starten lassen möchte, ziehe ich ja 1 ab sowohl beim Laufindex als auch beim Endwert, und dann muss die ja zum Summanden dazu addieren

das war irgendwie so wenn ich mich recht erinnere. Auch bei einigen YouTube videos haben die das so gemacht

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@lamfri

was meinst du mit beiden Seiten abziehen?

Beim Binomischen Lehrsatz wird von k=0 bis n summiert. Also muss man beim Binomischen Lehrsatz auf beiden Seiten die den Summanden für k=0 abziehen. Auf der rechten Seite steht dann die Summe von k=1 bis n.

$(\frac{2}{n} + 1)^n - 1 = (\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}} \binom{n}{k}\cdot (\frac{2}{n})^k \cdot 1^{n-k}) -1 = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}} \binom{n}{k}\cdot (\frac{2}{n})^k$

[lamfri]

@Mathmaninoff, UserMod Light

okay danke, jetzt nochmal kurz zum Verständnis wenn die summe bsp bei k=2 starten würde, müsste ich dann von beiden Seiten (2/n)^0 und (2/n)^1 abziehen?

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@lamfri

\binom{n}{0} ist 1, also wird (2/n)^0 einmal abgezogen.

\binom{n}{1} ist n, also wird (2/n)^1 n-mal abgezogen.

$\overset{n}{\underset{k=2}{\sum}}\binom{n}{k} \cdot (\frac{2}{n})^k = (\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\binom{n}{k} \cdot (\frac{2}{n})^k) - 1 - n \cdot \frac{2}{n}$

Answer 2

[PhotonX]

Deine Summation beginnt bei k=1 und nicht k=0, daher der Einser, der bei dir fehlt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

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[lamfri]

danke dir! schreib ich die minus 1 einfach dazu oder kriegt man die irgendwie raus durch einsetzen oder so

[PhotonX]

@lamfri

Na ja, der Schritt, wo du die Summation über k mit (1+2/n)^n ersetzt hast, war falsch, denn der klappt nur, wenn die Summation bei k=0 beginnt. Also musst du den Summanden für k=0 ergänzen und wieder abziehen, um die Summation vollständig zu machen.