Binomischer Lehrsatz?

Wie kann man das mit dem binomischen Lehrsatz beweisen ohne bis 41 alles aufzuschreiben?

Answer 1

[jeanyfan]

Naja, wenn du das Pascalsche Dreieck als bekannt voraussetzen kannst, gilt ja $\left(1+x\right)^{41}=\sum_{_{i=0}}^{41}\binom{41}{i}\cdot x^i=1+41x+\frac{41\cdot40}{2}x^2+\sum_{_{i=3}}^{41}\binom{41}{i}\cdot x^i$

Da alle Binomialkoeffizienten größer 0 sind und durch x>0 auch alle Potenzen von 0, ist damit auch $\sum_{_{i=3}}^{41}\binom{41}{i}\cdot x^i>0$ und somit gilt insgesamt $\left(1+x\right)^{41}>1+41x+\frac{41\cdot40}{2}x^2$

Answer 2

[Willibergi]

Nach dem Binomischen Lehrsatz gilt

$\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}.$

In deinem Fall folgt also:

$\left(1+x\right)^{41}=\sum_{k=0}^{41}\left(\binom{41}{k}1^kx^{n-k}\right)=\sum_{k=0}^{41}\left(\binom{41}{k}x^k\right)$

Hier ziehen wir die ersten drei Glieder raus und erhalten:

$\binom{41}{0}x^0+\binom{41}{1}x^1+\binom{41}{2}x^2+\sum_{k=3}^{41}\left(\binom{41}{k}x^k\right)$

also

$1+41x+\frac{41!}{2!\cdot39!}x^2+\sum_{k=3}^{41}\left(\binom{41}{k}x^k\right)$

Und jetzt können wir die Summe hinten ja einfach weglassen. Dann ist der verbleibende Teil kleiner/gleich (weil die Summe nicht-negativ ist):

$\ge1+41x+\frac{41\cdot40}{2}x^2$

Comments

[MeRoXas]

Hat sich erledigt.

[Willibergi]

@MeRoXas

Danke dir für den Hinweis. Das passiert bei zu viel Beweiskosmetik ;-) hab's korrigiert.

[MeRoXas]

@Willibergi

Edit: Hat sich auch erledigt. Ich sollte die Seite nochmal neu laden, bevor ich kommentiere.

Answer 3

[PhotonX]

Nutze doch die Summennotation: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz#Binomischer_Lehrsatz_f%C3%BCr_nat%C3%BCrliche_Exponenten

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Answer 4

[LineareAIgebruh]

Wie wärs wenn du den Lehrsatz allgemein erstmal beweist, zb induktiv, zb mithilfe der Bernoulli Ungleichung