Geometrische Reihe Grenzwert berechnen (für welche Formel)?

Ich verstehe irgendwie immer noch nicht mit welcher der gegebene Gleichungen man jetzt eigentlich die Grenzwerte berechent.

Weil irgendwie kann man mit beiden dieser Formeln die Grenzwerte berechnen aber ich verstehe immer noch nicht wie...

Also für was bzw wann benutzt man die gegebenene Gleichung um die Grenzwerte zu berechnen.

Answer 1

[mihisu]

Die Formel...

$s_n=\sum\limits_{k=0}^{n}q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

... nutzt man für die Partialsummen einer geometrischen Reihe. Also für geometrische Summen mit endlich vielen Summanden. [Du siehst, dass die obere Grenze über dem Summenzeichen ein endlicher Wert n ist.]

Die Formel...

$\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^{k}=\frac{1}{1-q}$

... nutzt man für den Wert einer geometrischen Reihe. Die Reihe hat unendlich viele Summanden. [Du siehst, dass die obere Grenze über dem Summenzeichen ∞ ist.]

Man erhält die Formel für den Wert einer geometrischen Reihe, indem man bei den Partialsummen den Grenzwert für n → ∞ betrachtet. Dann geht q^(n+1) gegen 0, wenn |q| < 1 ist, sodass das „- q^(n+1)“ verschwindet und nur noch 1/(1 - q) übrig bleibt.

Answer 2

[tunik123]

Die untere Gleichung gibt die Summe der Folgenglieder vom Index 0 bis n an.

Die obere Formel gibt den Grenzwert für den Fall an, dass n gegen Unendlich strebt. Das funktioniert aber nur, wann der absolute Betrag von q kleiner als 1 ist. Dann nämlich wird q^(n - 1) zu Null.